数列大题

第1页（共12页）2018年06月11日青冈一中的高中数学组卷一．解答题（共14小题）1．等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{an}的通项公式；（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．3．在数列中{an}中，a1=2，a4=9，{bn}是等比数列，且bn=an﹣1（1）求{an}的通项公式；（2）求{an}的前n项和．4．在等差数列{an}（n∈N*）中，已知a1=2，a5=6．（1）求{an}的公差d及通项an（2）记bn=2（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn5．已知{an}是等比数列，a1=2，且a1，a3+1，a4成等差数列．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=log2an，求数列{bn}的前n项和Sn．6．已知数列{an}中，a10=17，其前n项和Sn满足Sn=n2+cn+2．（1）求实数c的值；（2）求数列{an}的通项公式．7．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Sn．8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，an＞0（n∈N*），S6+a6是S4+a4，S5+a5的等差中项．第2页（共12页）（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列的前n项和为Tn，求Tn．9．已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=anlogan，Sn=b1+b2+b3+…+bn，对任意正整数n，Sn+（n+m）an+1＜0恒成立，试求m的取值范围．10．已知等比数列{an}与等差数列{bn}，a1=b1=1，a1≠a2，a1，a2，b3成等差数列，b1，a2，b4成等比数列．（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设Sn，Tn分别是数列{an}，{bn}，的前n项和，若Sn+Tn＞100，求n的最小值．11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a5+a6=24，S11=143，数列{bn}的前n项和为Tn，满足．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及数列的前n项和；（Ⅱ）判断数列{bn}是否为等比数列？并说明理由．12．已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，4，2a，记前n项和为Sn．（Ⅰ）设Sk=2550，求a和k的值；（Ⅱ）设bn=，求b3+b7+b11+…+b4n﹣1的值．13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{bn}的前2n项和T2n．14．已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+2n+1．（Ⅰ）证明数列{}是等差数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．第3页（共12页）第4页（共12页）2018年06月11日青冈一中的高中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共14小题）1．等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{an}的通项公式；（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2，当q=2时，an=2n﹣1，当q=﹣2时，an=（﹣2）n﹣1，∴{an}的通项公式为，an=2n﹣1，或an=（﹣2）n﹣1．（2）记Sn为{an}的前n项和．当a1=1，q=﹣2时，Sn===，由Sm=63，得Sm==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，Sn===2n﹣1，由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6．2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，第5页（共12页）可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），则{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*；（2）b1=1，T3=21，可得1+q+q2=21，解得q=4或﹣5，当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．3．在数列中{an}中，a1=2，a4=9，{bn}是等比数列，且bn=an﹣1（1）求{an}的通项公式；（2）求{an}的前n项和．【解答】解：（1）在数列中{an}中，a1=2，a4=9，{bn}是等比数列，且bn=an﹣1，设公比为q，则b1=a1﹣1=1，b4=a4﹣1=8，则q3==8，解得q=2，则bn=b1qn﹣1=2n﹣1，an=bn+1=1+2n﹣1；（2）{an}的前n项和为（1+1+…+1）+（1+2+…+2n﹣1）=n+=2n﹣1+n．4．在等差数列{an}（n∈N*）中，已知a1=2，a5=6．（1）求{an}的公差d及通项an（2）记bn=2（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn【解答】解：（1）a1=2，a5=6，可得2+4d=6，解得d=1，an=2+n﹣1=n+1；第6页（共12页）（2）bn=2=2n+1，可得数列{bn}为首项为4，公比为2的等比数列，数列{bn}的前n项和Sn==2n+2﹣4．5．已知{an}是等比数列，a1=2，且a1，a3+1，a4成等差数列．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=log2an，求数列{bn}的前n项和Sn．【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，则，，∵a1，a3+1，a4成等差数列，∴a1+a4=2（a3+1），即2+2q3=2（2q2+1），整理得q2（q﹣2）=0，∵q≠0，∴q=2，∴（n∈N*）．（Ⅱ）∵，∴．∴（I）数列{an}的通项公式an=2n（n∈N*），（Ⅱ）数列{bn}的前n项和．6．已知数列{an}中，a10=17，其前n项和Sn满足Sn=n2+cn+2．（1）求实数c的值；（2）求数列{an}的通项公式．【解答】解：（1）当n≥2时，由=n2+cn+2﹣（n2﹣2n+1+cn﹣c+2）=2n+c﹣1．得a10=20+c﹣1=17，∴c=﹣2；（2）把c=﹣2代入Sn=n2+cn+2，得．第7页（共12页）∴a1=S1=1，当n≥2时，an=2n﹣3．当n=1时上式不成立，∴．7．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Sn．【解答】解：（1）由已知a1b2=b1+b2且，得a1=4，∴{an}是首项为4，公差为3的等差数列，通项公式为an=4+（n﹣1）×3=3n+1；（2）由（1）知anbn+1=nbn+bn+1，得：（3n+1）bn+1﹣bn+1=nbn，∴，因此{bn}是首项为、公比为的等比数列，则．8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，an＞0（n∈N*），S6+a6是S4+a4，S5+a5的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列的前n项和为Tn，求Tn．【解答】解：（1）∵S6+a6是S4+a4，S5+a5的等差中项．∴2（S4+a4）=S4+a4+S5+a5第8页（共12页）化简得4a6=a4∵a1=2，{an}是等比数列，设公比为q，则．∵an＞0（n∈N*），∴q＞0∴q=∴数列{an}的通项公式an==；（2）由==2n﹣3．∴数列{bn}的通项公式bn=2n﹣3．那么：==数列的前n项和为Tn=（﹣1﹣1）+（1﹣）+（）+……+（）=﹣1﹣=．9．已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=anlogan，Sn=b1+b2+b3+…+bn，对任意正整数n，Sn+（n+m）an+1＜0恒成立，试求m的取值范围．【解答】解：（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q．依题意，有2（a3+2）=a2+a4，代入a2+a3+a4=28，得a3=8．∴a2+a4=20．第9页（共12页）∴解之得，或又{an}单调递增，∴q=2，a1=2，∴an=2n，（2）bn=2n•log2n=﹣n•2n，∴﹣Sn=1×2+2×22+3×23++n×2n①﹣2Sn=1×22+2×23++（n﹣1）2n+n•2n+1②①﹣②得，Sn=2+22+23++2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1由Sn+（n+m）an+1＜0，即2n+1﹣2﹣n•2n+1+n•2n+1+m•2n+1＜0对任意正整数n恒成立，∴m•2n+1＜2﹣2n+1．对任意正整数n，m＜﹣1恒成立．∵﹣1＞﹣1，∴m≤﹣1．即m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．10．已知等比数列{an}与等差数列{bn}，a1=b1=1，a1≠a2，a1，a2，b3成等差数列，b1，a2，b4成等比数列．（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设Sn，Tn分别是数列{an}，{bn}，的前n项和，若Sn+Tn＞100，求n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，d≠0，a1，a2，b3成等差数列，b1，a2，b4成等比数列，第10页（共12页）可得a1+b3=2a2，a22=b1b4，则解得（舍）或，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）易知．由Sn+Tn＞100，得，∵是单调递增数列，且，∴n的最小值为7．11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a5+a6=24，S11=143，数列{bn}的前n项和为Tn，满足．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及数列的前n项和；（Ⅱ）判断数列{bn}是否为等比数列？并说明理由．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，由S11=11a6=143，∴a6=13．又a5+a6=24，解得a5=11，d=2，因此{an}的通项公式是an=2n+1（n∈N*），所以，从而前n项的和为：===．…（6分）（Ⅱ）因为a1=3，，．当n=1时，b1=7；当n≥2时，；所以bn+1=4bn（n≥2．若{bn}是等比数列，则有b2=4b1，第11页（共12页）而b1=7，b2=12，所以与b2=4b1矛盾，故数列{bn}不是等比数列．…（12分）12．已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，4，2a，记前n项和为Sn．（Ⅰ）设Sk=2550，求a和k的值；（Ⅱ）设bn=，求b3+b7+b11+…+b4n﹣1的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得a1=a﹣1，a2=4，a3=2a，又a1+a3=2a2，∴（a﹣1）+2a=8，即a=3．（2分）∴a1=2，公差d=a2﹣a1=2．由Sk=ka1+，得（4分）2k+×2=2550即k2+k﹣2550=0．解得k=50或k=﹣51（舍去）．∴a=3，k=50．（6分）（Ⅱ）由Sn=na1+，得Sn=2n+×2=n2+n（8分）∴bn==n+1（9分）∴{bn}是等差数列．则b3+b7+b11+…+b4n﹣1=（3+1）+（7+1）+（11+1）+…+（4n﹣1+1）=（3+7+11+…+4n﹣1）+n==+n（11分）∴b3+b7+b11+…+b4n﹣1=2n2+2n（12分）13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{bn}的前2n项和T2n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，第12页（共12页）由S3+S4=S5可得：a1+a2+a3=a5，即3a2=a5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（