计算第一型曲线积分

1.计算第一型曲线积分:(1)Ldsyx)(,其中L是以)1,0(),0,1(),0,0(BAO为顶点的三角形分析：先将L分段表示，在利用第一型曲线积分的性质。L=OA+AB+BO，又OA：010xxxyAB：011xxxyxBO：001xyyy解：Ldsyx)(=OAdsyx)(+ABdsyx)(+BOdsyx)(=.212101010dyydxdxx(2)Ldsyx2122)(,其中L是以原点为中心,R为半径的右半圆周;分析：是以原点为中心,R为半径的右半圆周的参数方程为：)22.(sin,cosRyRx解：Ldsyx2122)(=.2222RdR.(3)Lxyds,其中L为椭圆12222byax在第一象限中的部分;分析：先将椭圆12222byax在第一象限中的部分表示为:22,0byaxxaa解：因为,,2222xabxyxaaby从而Lxyds=dxyxaxaba2220)(1=dxxaaxbxaxaba)(122222220=adxxabxaab02222222=adxxbaaab0222242)(2=)(3)(22bababaab.此题也可将椭圆12222byax在第一象限中的部分表示为参数方程：cos0sin2xayb(4)Ldsy,其中L为单位圆周122yx;解：由于单位圆的参数方程为:cos,sin(02)xy,从而Ldsy=4sinsin20dd.(5)Ldszyx)(222,其中L为螺旋线)20(,sin,costbtztaytax的一段;解：Ldszyx)(222=222222222202)43(32)(babadtbatba.(6)Lxyzds,其中L是曲线)10(21,232,23ttztytx的一段;解：Lxyzds=dtttttt223102121232=.143216)1(32102/9dttt(7)dszyL222,其中L是2222azyx与yx相交的圆.分析：2222azyx与yx相交的圆2222azyyx的其参数方程为)20(,cos,sin2ttaztayx解：dszyL222=.2cossin2202222adttataa注意：计算第一型曲线积分的关键是将L的表达式正确的给出来。2.求曲线)0,10(21,,2atatzatyax的质量,设其线密度为az2.分析：根据第一型曲线积分的物理意义LMds解：曲线质量为:LdsazM2=dttaat10222=).122(3)1(122102atdta3.求摆线)0()cos1(),sin(ttayttax的重心,设其质量分布是均匀的.分析：设摆线的密度为0，先求出摆线的质量，再求出它的重心解：因为.2sin2sin)cos1(2222dttadttatads所以质量.42sin2000adttaM故重心坐标为001(sin)2sin2tyattadtM=dtttadttta2sinsin22sin200=.34)2cos23(cos42cos|2cos000adtttadttatat001(cos)2sin2txattadtM=.34)2sin23(sin42sin200adtttadtta4.若曲线以极坐标))((21表示,试给出计算Ldsyxf),(的公式,并用此公式计算下列曲线积分:(1)dseLyx22,其中L为曲线)40(a的一段;(2)dsxL,其中L为对数螺线)0(kaek在圆ar内的部分.分析：先将L的极坐标))((21表示为直角坐标：L：12()cos()sinxy解：因L的参数方程为)(sin)(,cos)(21yx,从而.)()()()(2'222ddddyddxds故Ldsyxf),(=df)()()sin)(,cos)((2221.(1)dseLyx22=.40240aaeadae(2)dsxL=dekadexaeaaekkkkcos1cos0222222220.记deIkcos02,则IkkdkeIk20242sin2sin于是1422kkI,故2224114Lakkxdsk.5.证明:若函数),(yxf在光滑曲线,),(),(:ttyytxxL上连续,则存在点Lyx),(00,使得,),(),(00LyxfdsyxfL其中L为L的弧长.分析：先将第一型曲线积分转化为定积分即：Ldsyxf),(=dttytxtytxf)()())(),((22.再利用推广的定积分第一中值定理证：由于f在光滑曲线L上连续,从而曲线积分Ldsyxf),(存在,且Ldsyxf),(=dttytxtytxf)()())(),((22.又因f在L上连续,L为光滑曲线,所以)](),([tytxf与)()(22tytx在,上连续且)()(22tytx非负（不变号），由推广的定积分第一中值定理:],[0t使22[(),()]()()fxtytxtytdt=Ltytxfdttytxtytxf)](),([)()()](),([002200.令),(),(0000tyytxx显然Lyx00,,且LyxfdsyxfL),(),(00.