电路分析基础-讲义-02

退出开始§2-1图论的初步知识内容提要图论的起源图论的基本概念1.图论的起源图论属于数学的一个分支，它是一个年轻但却迅速成熟的学科，它主要是研究事物之间的客观规律。哥尼斯堡桥问题•从任一陆地出发走遍七座桥（而且只走一次）再回到原地是否可行？•1736年Euler（欧拉：圣彼得堡大学的数学教授）证明无解。ACBDabcdegf•古普鲁士哥尼斯堡城的Pregel有七座桥将四块陆地相连。•连通图每点连接的边数为偶数才能有解。返回1.图论的起源AcbaDCBfedg2.图论的一些基本概念1.图2.有向图3.连通图9.割集8.网孔4.平面图5.子图6.树7.基本回路2.图论的一些基本概念应用图论讨论电路的结构及其联接性质，对电路进行分析，称为网络图论（网络拓扑学）。2.1拓扑(topology)：几何或联接性质。2.2图(Graph):电路（网络）的图由支路（线段）和节点（点）组成，用G表示。每一支路代表一个电路元件或一些电路元件的某种组合，每一支路都连接在图中的两个节点之间。①②iu①②标准支路组合①②③1234①②③电路图拓扑图G1234①②③在电路分析中，图中边上的箭头即表示该边所代表的支路电压、电流方向。2.图论的一些基本概念2.3有向图(directedgraph)：给图中的每一条支路都规定了方向的图。否则，称为无向图(undirectedgraph)令b表示边数，n表示节点数，则图中b＝4，n＝3。2.6连通图(connectedgraph)：图G中任意两节点之间至少存在一条路径的图。否则称为不连通图(unconnectedgraph)。①②④③①②④③连通图不连通图2.图论的一些基本概念2.4路径(path)：从图G的某一节点出发，沿着一些支路连续移动，从而到达另一指定的节点或原节点，则这样一系列的支路便构成了图G的一条路径。2.5回路(loop)：如果路径的起点和终点重合，就构成了一条回路。2.7平面图(planargraph)：一个图G画在平面上时，其各条支路除所联接的节点外不再交叉的图。否则称为非平面图。平面图非平面图2.图论的一些基本概念①②④③12345图G①②④③1245子图1G2.图论的一些基本概念2.8子图(subgraph)：图G中的一部分称为其子图。子图有很多。子图2G①②④③1345①②④123③①②④③1451nnt树支数1nbnblt数连支2.图论的一些基本概念2.9树(tree-T)：树是连通图G的一个连通子图；包含图G的所有的节点；不包含任何回路。T2T1树支：组成树的支路。连支：其余的支路。①②④③12345图G①②④③123456256，，，１563，，524，，2.9基本回路：只含有一条连支的回路。①②④③123456652，，树支集合431，，连支集合以连支的方向为基本回路的绕行方向。注意2.图论的一些基本概念2.10网孔(mesh)：内部不包含支路的回路叫网孔。2.图论的一些基本概念图中网孔为：{1,2,3}{2,4,5}{3,5,6}256，，，１563，，524，，基本回路为：①②④③123456①②④③123456①②④③453，，，１割集2.11割集(cutset)：图G的割集是G的一些支路集合，把这些支路移去将使G分离为两个部分，而如果少移去其中一条支路，图仍将是连通的。即割集是使图分为两部分的最少边集。2.图论的一些基本概念①②④③123456返回2.12基本割集：由一条树枝和若干条连枝可以构成一个割集，称这样的割集为基本割集，也称为单树枝割集。2.图论的一些基本概念①②④③123456①②④③123456对于任意一个由电网络抽象得到的连通图，只要选定一棵树，就可以确定一组基本回路和基本割集，且他们是独立回路和独立割集！§2-2支路电流法退出开始1.KCL、KVL的独立方程数一般情况下，对于有b条支路的电路，有2b个电压、电流变量，需要用2b个联立方程反映其全部约束关系。而由b条支路的VCR可得到b个方程，另外b个方程则由KCL、KVL提供。KCL：(n-1)b对于节点数为n、支路数为b的电路，其独立的KCL方程数为(n-1)个，且为任意的(n-1)个；独立的KVL方程数为[b-(n-1)]=(b-n+1)个。KVL：(b-n+1)返回独立节点：能够提供独立的KCL方程的节点。独立回路：能够提供独立的KVL方程的回路。对平面图来说，独立的KVL方程数就是其网孔数。网孔的概念只适用于平面电路。1.KCL、KVL的独立方程数2.支路电流法以各支路电流为未知量列写方程求解的方法。对有b条支路的电路来说，联立方程个数为b个。若电路中含有给定的电流源，则在KVL方程中将出现相应的未知电压，此电压将在求解联立方程时一并求出。此时，电流源所在支路的电流是已知的。联立方程数是几个？方法：将2b法中的VCR方程代入到KVL方程中消去电压未知量。返回•列写下图所示电路的支路电流方程。例题1+-+-42131R2R3R1i2i2u+-+-3i3u5u1usu4isi5i4R5R+-4u12345123412（a）（b）解画出电路的图，如图（b）所示，分别对节点1、2、3列写KCL方程。例题1041ii0321iii052ii分别对网孔1、2列写KVL方程。113344sRiRiRiu225s5330RiiiRRi以上5个方程即为（a）所示电路的支路电流方程，联立求解可得5个支路电流。进一步可以依据元件的VCR求出5个电压变量。12345123412+-+-42131R2R3R1i2i2u+-+-3i3u5u1usu4isi5i4R5R+-4u例题2列写下图所示电路的支路电流方程。+-+-42131R2R3R1i2i2u+-+-3i3u5u1usu4isi12解分别对节点1、2、3列写KCL方程。041ii0321iii2sii例题2按图示绕行方向分别对网孔1、2列写KVL方程。1133sRiRiu033522iRuiR可以看出，上述方程中的未知量不全是电流，有一个是电流源所在支路的电压，因为此时支路5的电流是已知的，就是电流源的电流。将VCR方程代入KCL方程中,消去电流未知量,再和KVL联立，可以得到b个电压变量的b个方程，则可求得各支路电压。一旦求得各支路的电压，则各支路的电流也就可由相应支路的VCR求得。将此种方法称为支路电压法。与支路电流法相似。退出开始§2-3完备的电路独立变量1.完备的独立电路变量完备的独立电流变量应满足：①利用KCL方程和欧姆定律，由该组变量可以求出电路各支路电流和电压。②该组变量中的任一个电流不能用其它电流表示，即相互独立。完备的独立电流变量：网孔电流连支电流完备的独立电流变量个数=连支数=网孔数=1nb1.1完备的独立电流变量选树3,2,10654iii所以连支电流独立0321iii所以树支电流不独立642iii653iii541iii而树支电流可由连支电流表示连支电流是一组完备的独立电流变量。C1C2C3412356①②③④C1C2C3412356①②③④返回例题1①各网孔电流不受KCL约束，所以独立。②415mmiii126mmiii网孔电流可表示各支路电流网孔电流是一组完备的独立电流变量。12345678①②③④1mi2mi3mi4mi732mmiii843mmiii返回例题21.完备的独立电路变量完备的独立电压变量应满足：①利用KVL方程和欧姆定律，由该组变量可以求出电路各支路电流和电压。②该组变量中的任一个电压不能用其他电压表示，即相互独立。完备的独立电压变量：节点电压树支电压完备的独立电压变量个数=树支数=节点电压数=1n1.2完备的独立电压变量返回选树3,2,1树支支路不构成回路，所以树支电压独立。连支支路构成回路，所以连支电压不独立。3个基本回路的KVL方程2141:uuul3152:uuul3263:uuul连支电压可由树支电压表示树支电压是一组完备的独立电压变量。412356①②③④1l2l3l返回例题3参考节点：在电路中选定任一节点，令其电位为零，即表表明与“大地”相连，并用符号“ᅩ”表示，称此节点为电路的参考节点（零电位点）。节点电压(nodevoltage）：电路中其他节点至参考节点间的电压。通常参考节点被认为是节点电压的“－”端，即节点电压由其他节点指向参考节点。例题4①节点电压支路不构成回路，所以独立。②根据KVL节点电压是一组完备的独立电压变量。12345678①②③④(0)141nnuuu212nnuuu323nnuuu434nnuuu其他电压可由节点电压表示返回例题4退出开始§2-4节点电压法①②④③1is1is3i1G2G4G5G6G①②④③123456节点电压相关概念参考节点：在电路中选定任一节点，令其电位为零，即表表明与“大地”相连，并用符号“ᅩ”表示，称此节点为电路的参考节点（零电位点）。节点电压(nodevoltage）：电路中其他节点至参考节点间的电压。通常参考节点被认为是节点电压的“－”端，即节点电压由其他节点指向参考节点。节点电压法是以节点电压为电路变量列写方程进行求解的一种分析方法基本思想：先选定一个参考节点；然后对除参考节点以外的其他节点列KCL方程，根据各支路的VCR，用节点电压表示各支路电流；最后将用节点电压表示的各支路的VCR代入KCL方程，整理既得各节点的以节点电压为变量的方程。以节点电压为变量的方程实质上仍然是KCL方程定义①②④③1is1is3i1G2G4G5G6G①②④③123456节点电压相关概念节点KCL方程各支路VCR支路电压与节点电压关系123245346000iiiiiiiii111122233444555666ssiGuiiGuiiiGuiGuiGu112123134235263nnnnnnnnnuuuuuuuuuuuuuuu11112212334423552663()()nsnnsnnnniGuiiGuuiiiGuuiGuiGu节点电压方程12n12n2s1s32n1245n24n34n246n3s3()0()00()GGuGuiiGuGGGuGuGuGGui①②④③1is1is3i1G2G4G5G6G①②④③123456推广到具有n个节点的电路，其节点电压方程的一般形式为：11n112n21n1n(n1)s1121n122n22n1n(n1)s22(n1)1n1(n1)2n2(n1)(n1)n(n1)s(n1)n1()()()GuGuGuiGuGuGuiGuGuGui对于具有四个节点的电路，其节点电压方程的一般形式为：11n112n213n3s1121n122n223n3s2231n132n233n3s33GuGuGuiGuGuGuiGuGuGuiiiGii：节点的自电导，等于连接于节点的所有支路电导之和，自电导总为正。ijGijij：节点与的互电导，等于节点、的所有公共支路电导之和的负值，互电导恒为负值。siiiii：电源注入节点的电流，等于连接于节点的各电流的代数和。对电流源，电流流入节点为正，流出节点为负；对电压源，如果有与电压源串联的电阻，进行电源等效变换。两个节点没有公共支路，互电导为零；ijjiGG对于只含独立源和电阻的电路，。例题1列写下图所示电路的节点电压方程。1R2R3Rsusi4R5R42131R2R3Rsi4R5Rs4uR（a）（b）有伴电压源例题1su4R解首先将电压源与电阻串联的