二重积分练习题答案

高等数学——Copyright©2012bySamw.Allrightsreserved.1一、填空1、设23:2,,1,DxDxyxxydxdyy====∫∫.135(2,2)(1,1)1(2,)223Dxdxdyy=∫∫213xxxdyy∫21dx∫2、设:,2,1Dyxyxy===−，将(,)Dfxydxdy∫∫化为累次积分=.()11-,-112⎛⎞⎜⎟⎝⎠-,-2(,)yyfxydx∫01dy−∫二重积分练习题高等数学——Copyright©2012bySamw.Allrightsreserved.23、设22:Dxyax+≥，222(0)xyaxa+≤将(,)Dfxydxdy∫∫。Oxy2coscos(cos,sin)aafrrrdrθθθθ∫22dππθ−∫4、交换积分次序244024(,)(,)yyyydyfxydxdyfxydx−−−−+∫∫∫∫为________________________。422−224(,)xxfxydy−∫22dx−∫25、以xoy面上的圆22:(0)Dxyaxa+≤为底，曲面22zxy=+为顶的曲顶柱体的体积为。cos20aVrrdrθ=⋅∫22dππθ−∫43a32π化为极坐标系下的累次积分为高等数学——Copyright©2012bySamw.Allrightsreserved.36、将221Ddxdyxy−−∫∫，22:Dxyy+≤化为极坐标下的累次积分。xy0sin201rdrrθ−∫0dπθ∫7、交换积分次序1101(,)xxdxfxydy−−∫∫为。xy01yx=−1yx=−111−10(,)yfxydx+∫01dy−+∫10(,)yfxydx−∫10dy∫高等数学——Copyright©2012bySamw.Allrightsreserved.41、设22222:,DDxyRxIRxydxdy+≤=−−=∫∫。AA.31R(34)9π−B.0C.31R(34)9π−−D.31R3π2、设22:1Dxy+≤，f是D上的连续函数，则()22Dfxydxdy+=∫∫。AA.102()rfrdrπ⋅∫B.104()rfrdrπ⋅∫C.1202()frdrπ∫D.102()frdrπ∫二、选择高等数学——Copyright©2012bySamw.Allrightsreserved.53、设(,)fxy是连续函数，则420(,)xxdxfxydy=∫∫。AA.2404(,)yydyfxydx∫∫B.2440(,)yydyfxydx−∫∫C.2440(,)yydyfxydx∫∫D.2044(,)yydyfxydx∫∫(4,4)三、计算1、110yxyIdyedx=∫∫xy0yx=1x=10yxxedy∫10Idx=∫100xyxxedx=⋅∫10(1)xedx=⋅−∫12e−=(1,1)高等数学——Copyright©2012bySamw.Allrightsreserved.62、22sinDxydxdy+∫∫，2222:4Dxyππ≤+≤2sinrrdrππ∫20dπθ=∫解：原式2(cos)rdrππ−∫20dπθ=∫2220(coscos)rrrdrdπππππθ=−+∫∫20(2cos)dππππθ=−+∫26π=−π2π高等数学——Copyright©2012bySamw.Allrightsreserved.73、将2200axdxxydy+∫∫化为极坐标形式的二次积分，并求值。解：xy0yx=xa=axa=极坐标方程secraθ=2200axdxxydy∴+∫∫sec20ardrθ∫40dπθ=∫3340sec3adπθθ=∫340sectan3adπθθ=∫340sectan3aπθθ=⋅340tansec3adπθθ−∫333402(secsec)63aadπθθθ=−−∫3[2ln(21)]6a=+−高等数学——Copyright©2012bySamw.Allrightsreserved.81)2222(),:4,8,,2DxfdxdyDxyxxyxyxyxy+=+===∫∫解：原式8cos4cos(cot)frdrθθθ⋅∫arctan24dπθ=∫2)222222,:,DxydxdyDxyxxyy++≤+≤∫∫解：原式sin0rrdrθ⋅∫40dπθ=∫cos0rrdrθ⋅∫24dππθ+∫452918=−4、把下列二重积分化为极坐标系下的累次积分：高等数学——Copyright©2012bySamw.Allrightsreserved.95、设()fx在[0,1]上连续，证明：11210001()()(1)()1xnndxxyfydyyfydyn−−−=−−∫∫∫。xy0yx=1x=1证：左12()()nyxyfydx−−∫10dy=∫11101()()1nyfyxydyn−=⋅−−∫1101(1)()1nyfydyn−=−⋅−∫=右高等数学——Copyright©2012bySamw.Allrightsreserved.106、将二重积分(,)Dfxydxdy∫∫化成极坐标系下的二次积分，其中D是由22(1)1xy−+=，224xy+=（均为上半圆）和直线(0)yxy=−所围成的区域。xy02−2yx=−1解：22cos(cos,sin)frrrdrθθθ∫20dπθ∫20(cos,sin)frrrdrθθ∫342dππθ+∫2cosrθ=原式=高等数学——Copyright©2012bySamw.Allrightsreserved.11232D1D7、计算224Dxydxdy+−∫∫，22:9Dxy+≤解：122(4)Dxydxdy=−−∫∫222(4)Dxydxdy++−∫∫220(4)rrdr−∫20dπθ=∫322(4)rrdr−∫20dπθ+∫412π=原式高等数学——Copyright©2012bySamw.Allrightsreserved.128、Dxydxdy−∫∫，:0,0,1,1Dxyxy====xy0111D2D解：1()Dyxdxdy=−∫∫2()Dxydxdy+−∫∫1()xyxdy−∫10dx=∫0()xxydy−∫10dx+∫13=9、22222sin()xyxytFtedxdy++≤=∫∫，求()Ft′。解：()Ftsin0trredr∫20dπθ=∫()Ft′sin02trredrπ=∫sin2tteπ=原式高等数学——Copyright©2012bySamw.Allrightsreserved.131）1100(,)dxfxydy∫∫2）2100(,)xdxfxydy∫∫解：xy0111D2D1）根据所给积分画出几分区域如图1100(,)dxfxydy∫∫sec0(cos,sin)frrrdrθθθ∫40dπθ=∫csc0(cos,sin)frrrdrθθθ∫24dππθ+∫1x=secrθ⇒=1y=cscrθ⇒=2）2100(,)xdxfxydy∫∫secsectan(cos,sin)frrrdrθθθθθ⋅∫40dπθ=∫2yx=tansecrθθ=⋅10、将下列积分化成极坐标系下的二次积分：高等数学——Copyright©2012bySamw.Allrightsreserved.1411、计算()Dxydxdy+∫∫，22:,4,1Dyxyxy===解：12yx=24yx=原式Dxdxdy=∫∫Dydxdy+∫∫0=2yyydx∫102dy=∫3120ydy=∫25=高等数学——Copyright©2012bySamw.Allrightsreserved.1512、22[1()]Dxyfxydxdy++∫∫，3:,1,1Dyxxy==−=，其中()fu为连续函数。11−解：原式22()DDxdxdyxyfxydxdy=++∫∫∫∫31xdy∫11xdx−=∫3122()xyfxydy⋅+∫11xdx−+∫25=−+3112211()2xxFxydx−⋅+∫25=−+122611[(1)()]2xFxFxxdx−⋅+−+∫奇函数25=−高等数学——Copyright©2012bySamw.Allrightsreserved.1613、()DIxydxdy=+∫∫，22:1Dxy+≤解：xy01DI=14()Dxydxdy+∫∫10(cossin)rrdrθθ+⋅∫204dπθ=∫83=14、设()fu为可微函数，(0)0f=，求极限()22222301limtxytfxydtσπ+→+≤+∫∫解：原式0302()limttrfrdrtππ+→⋅=∫202()lim3ttftt+→⋅=02()(0)lim3tftft+→−=2(0)3f′=