行程问题C流水行船问题

行程问题--流水行船知识点梳理（一）基本概念船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。古语：“逆水行舟不进则退”船速：是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程。水速：是指水在单位时间里流过的路程。顺水速度和逆水速度：分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。(二）计算公式流水行船问题，是行程问题中的一种。三个量（速度、时间、路程）流水行船问题还有以下两个基本公式：顺水速度=船速+水速（1）逆水速度=船速-水速.（2）由公式（1）得：水速=顺水速度-船速，船速=顺水速度-水速由公式（2）可以得到：水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速。已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2）得到：船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。典型题例1.甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。解析顺水速度：208÷8=26（千米/小时）逆水速度：208÷13=16（千米/小时）船速：（26+16）÷2=21（千米/小时）水速：（26—16）÷2=5（千米/小时）答：船在静水中的速度和水流速度。例2.某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？解：从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18（千米/时），甲乙两地路程：18×8=144（千米），从乙地到甲地的逆水速度：15—3=12（千米/小时），返回时逆行用的时间：144÷12＝12（小时）。答：从乙地返回甲地需要12小时。例3.甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？解：轮船逆流航行的时间：（35+5）÷2=20（小时）顺流航行的时间：（35—5）÷2=15（小时）轮船逆流速度：360÷20=18（千米/小时）顺流速度：360÷15=24（千米/小时）水速：（24—18）÷2=3（千米/小时）帆船的顺流速度：12＋3＝15（千米/小时）帆船的逆水速度：12—3=9（千米/小时）帆船往返两港所用时间：360÷15＋360÷9＝24+40=64（小时）。河流中相遇问题车辆相遇问题：单位时间内路程和等于甲乙两车的速度和。路程=时间×速度和在河流中甲、乙两船速度和。推导：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速。结论：两船在水中的相遇问题与两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系。水上追及问题车辆同向：路程差=速度差×时间两船同向：路程差=船速差×时间推导：甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速。结论：水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。如果两船逆向追赶时，也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速。例4小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？解析速度差=船顺水速度-水壶飘流的速度解：路程差÷船速=追及时间2÷4=0.5（小时）答：他们二人追回水壶需用0.5小时。水速2千米/小时船速4千米/小时顺水逆水2千米BA例5.甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？解析解：①相遇时用的时间336÷（24+32）=336÷56=6（小时）。②追及用的时间（不论两船同向逆流而上还是顺流而下）：336÷（32—24）＝42（小时）。例6.一只小船从A地到B地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米，求AB两地间的距离。看图解析BA水速=（顺-逆）÷2=8÷2=4千米第二小时比第一小时多行6千米每小时多行8千米顺逆解析顺水比逆水每小时多行驶8千米，可知水流速度每小时4千米，顺水比逆水快，第2小时比第1小时多行6千米，可知顺水行舟6÷8=小时，逆水行舟2-=小时设静水船速每小时v千米，A、B相距S千米，则S=(v-4)×=(v+4)×解得v=16S=15答：A、B两港的距离是15千米。4343454543例7.一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶。已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为2:1。某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9时。问：甲、乙两港相距多少千米？解析平时：T逆:T顺=2：1，所以,V逆:V顺=1：2，设平时水流速度为V水，所以平时逆水航行速度为8-V水，平时顺水航行速度为8+V水，（8-V水）：（8+V水）＝1：2，所以V水＝8/3km/h，暴雨时：水流速度为：2V水=16/3km，所以逆水航行速度为：8-2V水=8/3km/h，顺水航行速度为：8+2V=40/3km/h，V逆:V顺=1：5，T逆:T顺=5：1，T逆=9÷（1+5）×5=7.5小时，8/3×7.5=20千米答：甲乙两港相距20km。例8.有甲、乙两船，甲船和漂流物同时从河西向东而行，乙船也同时从河东向西而行。甲船行4小时后与漂流物相距100千米，乙船行12小时后与漂流物相遇，两船的划速相同，河长多少千米？看图解析BA甲漂流物河长？相遇12小时4小时100千米逆水顺水漂流物乙甲东西解析因为漂流物的速度就是水流的速度，甲船顺水航行，速度=船速+水流的速度，4小时相距100千米，就是船在静水中的速度，就是船速。而乙船12小时与漂流物相遇，乙船是逆水行驶，与漂流物的速度和就是乙船的速度。乙船在静水中行驶的路程就是河长。解：船速：100÷4=25(千米)河长：25×12=300(千米)答：河长是300千米。