积化和差与和差化积公式(教师版)

积化和差与和差化积公式(教师版)积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课一、基本公式复习1、两角和与差公式及规律sin()sincoscossin.cos()coscossinsin.tantantan().1tantan2二倍角公式及规律3、积化和差与和差化积公式1sincos[sin()sin()].21cossin[sin()sin()].21coscos[cos()cos()].21sinsin[cos()cos()].2sinsin2sincos.22222221coscos.222cos.1cos21cossin.222sin.1cos2tan.21cos222221coscos.222cos.1cos21cossin.222sin.1cos2tan.21cos2sin2sin2cos,sin.1sin(sincos).2cos2cos22sin22sincos.2222cos2cossin2cos112sin.22tantan2.1tancoscos2coscos.22sinsin2cossin.22coscos2sinsin.22生动的口诀：（和差化积）口诀正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sincos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。④合一变形也是一种和差化积。⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2,β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]cos(α-β)-cos(α+β)=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]=2sinαsinβsinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]其他的3个式子也是相同的证明方法。4、万能公式2tan12tan2tan,2tan12tan1cos,2tan12tan2sin2222证：2tan12tan22cos2sin2cos2sin21sinsin2222tan12tan12cos2sin2sin2cos1coscos2222222tan12tan22sin2cos2cos2sin2cossintan222注意：1、上述三个公式统称为万能公式。2、这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即：所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁3、上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小。二、应注意的问题1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.2、倍角公式22sin211cos22cos有升、降幂的功能，如果升幂，则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用.3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.3、整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；4、角度配凑方法，其中,是任意角。2222)()(2()()()()2()2()2222三、例题讲解例1已知α，β均为锐角，sinα=551010，sin，求α+β的值。解析：由已知条件有cosα=25531010，cos，且0＜α+β＜π。又cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ255310105510102204××＞，所以例2已知sin(3)cos()tan()cot()2(),()cos()nxxxxfxnZnx（１）求52();3f（２）若34cos(),25求()f的值．解当2()nknZ时，sincostancot()sin;cosxxxxfxxx当21()nkkZ时，2sincostan(tan)()sintan.cosxxxxfxxxx34cos()sin,sin.25故当n为偶数时，525243()sinsin,33324()sin;5ff当n为奇数时，222225252524433()sintan.sintan,333332sin9()sintansin.cos16ff例3已知21sin(),sin().35（１）求tancot的值；（２）当(,),(,)2222时，求sin2的值．解（１）［方法１］2sincoscossin,31sincoscossin,5137sincos,cossin.3030从而，sincos13tancot.cossin7［方法２］设sincostancot,cossinxsin()10,sin()3sin()sin()tantancoscossin()sin()tantancoscostan11tan,tan11tanxx且11013,tancot.137xxx（２）由已知可得sin2sin[()()]sin()cos()cos()sin()465.15例4已知11cos(),cos(),22求tantan的值.解1coscossinsin,21coscossinsin,351coscos,sinsin.1212sinsin1tantan.coscos5例5已知11sincos,cossin,23求sin()的值.解将两条件式分别平方，得22221sin2sincoscos,41cos2cossinsin.9将上面两式相加，得1322sin(),3659sin().72例6sin7cos15sin8cos7sin15sin8的值等于（）A．23B．23C．232D．232解000000000000000000000000000sin(158)cos15sin8cos(158)sin15sin8sin15cos8cos15sin8cos15sin8cos15cos8sin15sin8sin15sin8tan45tan30tan15tan(4530)1tan45tan3023.原式故选B.例7已知cos(α－β)=、，，2312sin21都是锐角，求cos(α+β)的值。解析：由已知条件有。322)31(12sin12cos,312sin22022则，又＜＜因为0＜sin2α=1312＜，所以0＜2α＜6，所以0＜α＜12。①又因为0＜β＜2，所以2＜-β＜0。②由①、②得2＜α-β＜12。又因为cos（α-β）=12，所以20＜＜。)(cos1)sin(2所以=23。从而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)。6322233121322）（××评析：本例通过0＜sin2α=1312＜，发现了隐含条件：0＜α＜12，将α-β的范围缩小为212＜＜，进而由cos(α-β)=12,将α-β的范围确定为20＜＜，从而避免了增解。例8已知2222＜＜，＜＜，且tanα,tnaβ是一元二次方程xx23340的两个根，求α+β的值。解析：由已知条件得tanα+tanβ=330＜，tanαtanβ=4＞0，所以tanα＜0，tanβ＜0。又因为2222＜＜，＜＜，所以,0＜＜2，0＜＜2所以-π＜α+β＜0。又因为tan(α+β)=tantantantan1=33143所以α+β=23。评析：本例根据韦达定理tanα+tanβ=33，tanαtanβ=4，挖掘出了隐含条件tanα＜0,tanβ＜0，知02＜＜，0＜＜2，得出了α+β的确切范围，从而顺利求解。例9已知tan3，求①sin2cos5cossin；②2sin2cos．解：①sin2cos5cossin=tan25tan52；②222222sin22sincos2tan17sin21101coscoscossincostan．例10已知1sincos3，0（，），sincos求的值．解：1sincos3112sincos982sincos09（）252sincos91-2259(sincos)，又因为（）及0（，），所以（，）2，即sincos0，所以5sincos3．注：“已知sincos”与“未知sincos”的联系是“2(sincos)=24sincos(sincos)”，从而目标是求出sincos的值．例11已知4sin()1,5tan，且是第二象限的角，求tan．解：∵是第二象限的角，4sin5，∴3cos5，即4tan3，∴tan=tan[()]=tan()tan71tan()tan．注：“未知”与“已知