双曲抛物面薄壳屋盖的制作、造型设计

双曲抛物面薄壳屋盖的制作、造型设计摘要随着社会经济的高速发展人们的生活水平不断地提高，人们的住房也是越来越好，住房的薄壳屋盖的制作、造型设计在随着科技的发展而在不断地改进，由原来的砖瓦改变为双曲抛物面，钢筋混凝土双曲抛物面(马鞍面)薄壳作为屋盖,具有利于排水、防止渗漏、减轻自重、节约材料、受力性能较好、刚度较大、造型优美等优点，在厂房、商场、影剧院等民用建筑广泛应用，本文就是研究双曲抛物面薄壳屋盖的特点，通过模型假设预应力钢筋理想化为一维的直线.利用双曲抛物面是直纹面的特点来了解双曲抛物面薄壳屋盖的各个特点以及假设圆柱形预应力钢筋的模型来了解双曲抛物面薄壳屋盖的特点，从而研究双曲抛物面薄壳屋盖进一步来了解双曲抛物面得的一些特点，从而扩充我们的几何知识。通过上述模型来展示其是一种实用、美观的屋盖造型。关键词：双曲抛物面直母线锚固面预应力钢筋1问题的背景在人们日常生活中住房问题是一个比较重要的问题，如何使得我们的住房比较舒服，在随着社会的发展也是越来越重要，现在许多的人们都在追求使得自己的生活过的舒服，住房美观实用，在过去的瓦房到现在的平房的改变，屋盖的制作、造型设计也在不断地创新。如何使得我们的屋盖即能实用、又能美观的屋盖造型。2问题的重述现在大多数屋盖都采用钢筋混凝土双曲抛物面(马鞍面)薄壳作为屋盖,具有利于排水、防止渗漏、减轻自重、节约材料、受力性能较好、刚度较大、造型优美等优点,可以用于厂房、商场、影剧院等民用建筑.其数学表示由下面两个曲面和以及平面围成的空间区域构成.2222+2,(,)+2,,xyxyxyffabxaybzxyyffbaxaaxayb12(,)(,)zxyzxy其中的参数,例如,可以是0.6m;0.26m;1.48m;8.25m;=0.025m;=0.11m.xyffab把直径为6mm(或5mm)预应力钢筋沿中断面的抛物线的临近处从原点(0,0,0)往左右两边沿马鞍面的两族直母线配筋,然后再浇注混凝土或树脂1.就上述单个的双曲抛物面薄壳屋盖的配筋问题，用数学建模的方法解决以下问题：【1】（1）：把预应力钢筋理想化为一维的直线.利用双曲抛物面是直纹面的特点,把预应力钢筋安置在两族直母线处,即在跨中端面处抛物线上的点处安放两族直母线钢筋.并固定(锚固)在过原点的直母线与平面()相交的点处与该直母线垂直的锚固面上.通过模型的求解来求解以下几个问题:a.能安排多少根过点的直母线钢筋.写出这些空间直线的方程,并图示之.b.写出锚固面的方程,并写出直母线和锚固面的交点的表示式.c.求出直母线之间的交点的表示式.d.求出直母线和锚固面的法线之间的夹角,以便在锚固面上适当打孔以固定直母线钢筋.e.根据前面的数据以及,具体计算a–d.f.编制一个可以包括不等距安置直母线钢筋的通用程序(软件).（2）；如果圆柱形预应力钢筋不能简化为直线，请通过模型的求解来求解以下几个问题：,a.圆柱形预应力钢筋的中心轴线应该安置在临近的哪些点处.写出这些中心轴线的方程,并图示之.b.写出这些中心轴线和锚固面的交点的表示式.c.要求这些圆柱形预应力钢筋不能相交.它们的中心轴线在x-y平面上的垂直投是可以相交的,写出交点的表示式.计算沿这些交点垂直方向的两根圆柱形预应力钢筋之间的距离,要尽可能小(最好为零).d.编制一个通用的程序(软件).3模型的假设（1）：假设能把预应力钢筋理想化为一维的直线。（2）:假设每个屋盖都是双曲抛物面薄壳。（3）:假设问题所给数计都是相当精确的。（4）：圆柱形预应力钢筋都是没有弯曲的。（5）：假设圆柱形预应力钢筋不会产生形变。4模型符号说明1n，2n，3n，4n为平面的法向量un，vn，um，vm为直线的方向向量u，v参数r预应力钢筋半径A，B代换量,,,,,,1lffbayx为已知参量x，y，z为未知数121,,ckk为未知参量5模型的分析和求解通过假设把预应力钢筋理想化为一维的直线，则几何知识可知单个的双曲抛物面薄壳屋盖的配筋问题。a.能安排多少根过点2,xkxkxfa的直母线钢筋.写出这些空间直线的方程。由题目中所给的222(,)()(),(,)2xyxyzxyffxaybab我们对双曲抛物面薄壳屋盖进行简化，暂时忽略其厚度，就是对其的正中间的截面进行分析。设：22()()xyxyzffab为计算简便我们令22xaAf，22ybBf将其为为标准型来研究，得：2222xyzAB由于预应力钢筋安置在两族直母线处，所以我们需求出双曲抛物面的两族直母线的表达式。2222()()xyxyxyzABABAB令xyuAB令xyvAB得：()xyzuABxyuAB得：()xyzvABxyvAB在空间中我们无法得出问题的答案，所以我们需要将两族的直母线投影到xy平面上，于是我们需要验证同族直母线的投影是互相平行的，从两族的直母线的表达式中我们不难发现两族的直母线是由两个面相交得到的，则直母线的方向向量就由这两个平面的法相量的向量积得到。1．求U族直母线的方向向量:1:0xyuAB，其法相量为111(,,0)nAB2:0uuxyzAB，其法相量为2(,,1)uunAB3121111201ijkunnnijkABBAABuuABU族直母线的方向向量：3112(,,)unBAAB2．求V族直母线的方向向量：1:0xyvAB，其法相量为：111(,,0)nAB2:0vvxyzAB，其法相量为：2(,,1)vvnAB3121111201ijkvnnnijkABBAABvvABV族直母线的方向向量：3112(,,)vnBAAB由所求的两族直母线的方向向量可知在xy平面上，同族的直母线的投影是互相平行的。我们选取其中的一族作为研究的对象，在这里我们选取U族进行研究。在xy平面上的投影直母线的方向向量为：3112(,,)unBAAB则在xy平面上的投影的斜率为：11BAkAB由斜率我们可以为建立方程投影的方程为:1ByxnA图（1）图（2）由图（1）可知并非同一族的直母线都可以安置预应力钢筋的。只有能在两端固定的直母线才可以，又由图（2）可知过矩形顶点的直母线的投影的方程所过的点为（a,b）。求出该边上的直线后，求出其在x轴上的截距，用该截距除以之间的间距x，便可算出原点一边的所用的预应力钢筋的数目，而将一边的钢筋数目乘2加1，便是一个族所具有的预应力钢筋的数目，由图形的对称性可知，所有的钢筋数目为一个族的两倍。取点（a,b）得：1BnbaA则直线方程为：()BByxbaAA当0y时，在x轴上的截距为：AbaB已知每一条母线之间的间隔为x：AbaBmx则一共可安放过点))(,(2axkfxkx的直母线钢筋数为：42AbaBnx由于两族直母线过空间点2(,0,())xkxkxfa（0,1,...,km，m已知），便将点带入两族直母线的表达式中，可求的u,v，于是便得到了这些安放的直母线钢筋的方程。将点2(,0,())xkxkxfa带入()xyzuABxyuAB和()xyzvABxyvAB中，得：2xfAxuka，2xfAxvka则：U族中安放的直母线钢筋的方程为：22()(0,1,...,)xxfAxxyzkABakmfAxxykABaV族中安放的直母线钢筋的方程：22()(0,1,...,)xxfAxxyzkABakmfAxxykABab.写出锚固面的方程,并写出直母线和锚固面的交点的表示式.已知锚固面是与过原点)0,0,0(的直母线互相垂直的，由此我们可知锚固面的法相量便是该直母线的方向向量。又知该直母线与平面1lby相交，而该交点也在锚固面上，这样就不难求出锚固面的方程。过原点(0,0,0)的直母线方程：0ByxAz直母线与平面1ybl的交点为：11((),,0)AblblB根据锚固面的法向量为过(0,0,0)U族的直母线的方向向量11(,,0)BA设锚固面的方程为：110xyDBA当11(),AxblyblB时，得：1121()()ADblblBA则锚固面的方程：112111()()0AxyblblBABA为求直母线与锚固面的交点，只需将直母线的方程与锚固面的方程联立即可。U族直母线与锚固面的交点的表达式：22112()(0,1,...,)111()()0xxfAxxyzkABafAxxykkmABaAxyblblBABAV族直母线与锚固面的交点的表达式：22112()(0,1,...,)111()()0xxfAxxyzkABafAxxykkmABaAxyblblBABAc.求出直母线之间的交点的表示式.我们知道同族的直母线之间是不可能相交的，只可能是异族的直母线才可能有交点。为求直母线之间的交点，可先求出其在yx平面上的投影方程之间的交点坐标，又因为直母线之间的交点满足双曲抛物面的方程，便可将之前求出的x,y带入双曲抛物面的方程中，这样就可以求出直母线之间的交点。我们可以设U族直母线投影的方程为：1ByxnA由于投影方程过点1(,0)kx，带入上述方程中得：11BnkxA得方程：11,(0,1,...,)BByxkxkmAA同理设V族直母线投影的方程为：2ByxnA由于投影方程过点2(,0)kx，带入上述方程中得：22BnkxA得方程：2,(0,1,...,)BByxkxkmAA两方程联立得11212221()2(,0,1,...,)()2BBxyxkxxkkAAkkmBBBxyxkxykkAAA以知2222xyzAB，将上述求的的x,y带入，则交点坐标为：222122112122((),(),()),(,0,1,...,)222xBxxkkkkkkkkmAAd.求出直母线和锚固面的法线之间的夹角,以便在锚固面上适当打孔以固定直母线钢筋.要求直母线和锚固面的法线之间的夹角，我们已知的是锚固面的法相量，还知道各族的直母线的方向向量，根据解析几何中求两直线的夹角的公式，就不难求出直母线和锚固面的法线之间的夹角。已知锚固面的法向量为11(,,0)BA1．U族直母线的方向向量为112(,,)uBAAB，根据公式得：2222222211cos,(,0,1,...,)11411xfAxBAukkmauBAABBA2．V族直母线的方向向量为112(,,)vBAAB，根据公式得：2222222211cos,(,0,1,...,)11411xfAxBAvkkmavBAABBAe.当0.1mx时，其a,b,c,d的结果是：a:钢筋条数：111]//[*2xBbAaA22]//*[*42xBbAaAb:交点为：0,20181,1526*82506697和0,20181,1526*82506697020181371551526*82506697165262yx020181371551526*82506697165262yx交点为：0,2