高中数学 1.1.1《变化率与导数 变化率问题》课件(新人教A版选修2-2)

《高中数学》选修2--21.1.1《变化率与导数－变化率问题》学习目标：1、了解函数的平均变化率2、函数平均变化率的几何意义；教学重点：函数的平均变化率及其求法。1观察函数y的图象,当x时的变化趋势。x无论x+或x-的值无限趋近于0.x1函数y0.x1时，当x即一、新课引入：于0.的值无限x1函数y逼近或者说函数的极限x110100100010000100000···y10.10.010.0010.00010.00001···考察函数当x无限增大时的变化趋势．xy1yxO当自变量x取正值并无限增大时，函数的值无限趋近于0，即|y-0|可以变得任意小．xy1当x趋向于正无穷大时，函数xy1的极限是0，记作01limxx函数的极限yxOxy1当x趋向于负无穷大时，函数的极限是0，记作01limxx函数的极限就说当x趋向于正无穷大时，函数的极限是a，记作axfx)(lim)(xf一般地，当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数)(xf无限趋近于一个常数a，也可记作:当axfx)(时，当就说当x趋向于负无穷大时，函数的极限是a，记作axfx)(lim当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数)(xf无限趋近于一个常数a，也可记作:axfx)(时，)(xf1、2、1.1.1变化率问题即：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．导数研究的问题变化率问题微积分主要与四类问题的处理相关:•一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;•二、求曲线的切线;•三、求已知函数的最大值与最小值;•四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。首先应该明确以下内容：1.1.1变化率问题•问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?•气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是34()3Vrr•如果将半径r表示为体积V的函数,那么33()4VrV分析一下:1、当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为2、当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)(/)100.62rrdmL(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/)210.16rrdmL显然0.620.16问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?33()4VrV上述问题表明：随着气球体积的增加，当吹入相同体积的气体时，气球半径的增加量越来越小（半径的增加速度越来越慢）。思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?2121()()rVrVVV问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?请计算：00.52:ttv和1时的平均速度hto我们发现：对于函数htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10平均变化率定义:•若设Δx=x2-x1,Δf=f(x2)-f(x1)则平均变化率为121)()fxxx2f(xfx121)()fxxx2f(x这里Δx看作是对于x1的一个“增量”“变化量”，可正可负但不能为零；可用x1+Δx代替x2，即x2=x1+ΔxΔf=Δy=f(x2)-f(x1)上述问题中的变化率可用式子表示称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率表示函数关系，那么一般地，我们常用)(xfy思考?观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?121)()fxyxxx2f(x的斜率。）连线直线（）（点表示对应函数图像上两即：函数的平均变化率AB)(,B)(,A2211xfxxfxOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率•1、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=()A3B3Δx-(Δx)2C3-(Δx)2D3-ΔxD•2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。2x0+Δx练习：3322(1)133()330.10.13.31(1)xkxxxx3、过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.解：练习：1.t2质点运动规律s=t+3,则在时间(3,3+t)中相应的平均速度为()9A.6+tB.6+t+C.3+tD.9+t•2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.A253t小结：1.函数的平均变化率：()fxx121)()fxxx2f(x2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率fx121)()fxxx2f(x即：平面直角坐标系中求两点间直线斜率公式。函数的极限如果axfaxfxx)(lim)(lim且那就是说当x趋向于axfx)(lim也可记作:当axfx)(时，无穷大时，函数的极限是a，记作)(xfCxfx)(lim对于常数函数)()(RxCxf也有函数的极限x取正值并且无限增大axfx)(lim无限趋近于常数a)(xf极限表示值的变化趋势自变量x的变化趋势)(xfx取负值并且绝对值无限增大axfx)(lim无限趋近于常数a)(xfx取正值并且无限增大，x取负值并且绝对值无限增大axfx)(lim无限趋近于常数a)(xf函数的极限例1、分别就自变量x趋向于的情况，讨论下列函数的变化趋势：和（1）xy21解：当时，无限趋近于0，xy21;021limxx即x当时，趋近于.xy21x0lim10xxaa时，都有结论：当函数的极限（2）)0(1)0(0)0(1)(时　　时　　　时　　　xxxxf解：当时，的值保持为1．即x)(xf;1)(limxfx当时，的值保持为-1，即x)(xf;1)(limxfx