第七章 数学形态学及其应用

1引言二值形态学灰值形态学形态学的应用数学形态学及其应用2数学形态学(MathematicalMorphology)诞生于1964年，是由法国巴黎矿业学院博士生赛拉(J.Serra)和导师马瑟荣，在从事铁矿核的定量岩石学分析及预测其开采价值的研究中提出“击中/击不中变换”，并在理论层面上第一次引入了形态学的表达式，建立了颗粒分析方法。他们的工作奠定了这门学科的理论基础，如击中/击不中变换、开闭运算、布尔模型及纹理分析器的原型等。数学形态学的基本思想是用具有一定形态的结构元素去量度和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。数学形态学-概述3数学形态学-概述数学形态学的数学基础和所用语言是集合论，因此它具有完备的数学基础，这为形态学用于图像分析和处理、形态滤波器的特性分析和系统设计奠定了坚实的基础。数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干的结构。数学形态学的算法具有天然的并行实现的结构，实现了形态学分析和处理算法的并行，大大提高了图像分析和处理的速度。4数学形态学-概述数学形态学是由一组形态学的代数运算子组成的，它的基本运算有4个：膨胀（或扩张）、腐蚀（或侵蚀）、开启和闭合，它们在二值图像和灰度图像中各有特点。基于这些基本运算还可推导和组合成各种数学形态学实用算法，用它们可以进行图像形状和结构的分析及处理，包括图像分割、特征抽取、边界检测、图像滤波、图像增强和恢复等。数学形态学方法利用一个称作结构元素的“探针”收集图像的信息，当探针在图像中不断移动时，便可考察图像各个部分之间的相互关系，从而了解图像的结构特征。数学形态学基于探测的思想，与人的FOA(FocusOfAttention)的视觉特点有类似之处。作为探针的结构元素，可直接携带知识（形态、大小、甚至加入灰度和色度信息）来探测、研究图像的结构特点。5数学形态学-概述数学形态学的基本思想及方法适用于与图像处理有关的各个方面，如基于击中/击不中变换的目标识别，基于流域概念的图像分割，基于腐蚀和开运算的骨架抽取及图像编码压缩，基于测地距离的图像重建，基于形态学滤波器的颗粒分析等。迄今为止，还没有一种方法能像数学形态学那样既有坚实的理论基础，简洁、朴素、统一的基本思想，又有如此广泛的实用价值。有人称数学形态学在理论上是严谨的，在基本观念上却是简单和优美的。6数学形态学-概述数学形态学是一门建立在严格数学理论基础上的学科，其基本思想和方法对图像处理的理论和技术产生了重大影响。事实上，数学形态学已经构成一种新的图像处理方法和理论，成为计算机数字图像处理的一个重要研究领域，并且已经应用在多门学科的数字图像分析和处理的过程中。这门学科在计算机文字识别，计算机显微图像分析(如定量金相分析，颗粒分析)，医学图像处理（例如细胞检测、心脏的运动过程研究、脊椎骨癌图像自动数量描述），图像编码压缩，工业检测(如食品检验和印刷电路自动检测)，材料科学，机器人视觉，汽车运动情况监测等方面都取得了非常成功的应用。另外，数学形态学在指纹检测、经济地理、合成音乐和断层X光照像等领域也有良好的应用前景。形态学方法已成为图像应用领域工程技术人员的必备工具。目前，有关数学形态学的技术和应用正在不断地研究和发展。7数学形态学-基本符号与术语1.元素和集合在数字图像处理的数学形态学运算中，把一幅图像称为一个集合。对于二值图像而言，习惯上认为取值为1的点对应于景物中心，用阴影表示，而取值为0的点构成背景，用白色表示，这类图像的集合是直接表示的。考虑所有值为1的点的集合为A，则A与图像是一一对应的。对于一幅图像A，如果点a在A的区域以内，那么就说a是A的元素，记为a∈A，否则，记作a∈A。元素与集合间的关系aAbBA(a)(b)8数学形态学-基本符号与术语集合的交集、并集和补集BABABAACA∪BA∩B2.交集、并集和补集两个图像集合A和B的公共点组成的集合称为两个集合的交集，记为A∩B，即A∩B={a｜a∈A且a∈B}。两个集合A和B的所有元素组成的集合称为两个集合的并集，记为A∪B，即A∪B={a｜a∈A或a∈B}。对一幅图像A，在图像A区域以外的所有点构成的集合称为A的补集，记为AC，即AC={a｜a∈A}。交集、并集和补集运算是集合的最基本的运算9数学形态学-基本符号与术语3.击中（Hit）与击不中（Miss）设有两幅图像A和B，如果A∩B≠，那么称B击中A，记为B↑A，其中是空集合的符号；否则，如果A∩B=，那么称B击不中A。击中与击不中（a）B击中A；（b）B击不中A(a)(b)ABBA10数学形态学-基本符号与术语4.平移和反射设A是一幅数字图像（见图(a)），b是一个点（见图(b)），那么定义A被b平移后的结果为A＋b＝{a＋b|a∈A}，即取出A中的每个点a的坐标值，将其与点b的坐标值相加，得到一个新的点的坐标值a+b，所有这些新点所构成的图像就是A被b平移的结果，记为A+b，如图（c）所示。平移与反射01234xy12345(a)x01234123y(b)b01234xy12345y123401234x(c)(d)11数学形态学-基本符号与术语5.目标和结构元素被处理的图像称为目标图像，一般用大写英文字母表示。为了确定目标图像的结构，必须逐个考察图像各部分之间的关系，并且进行检验，最后得到一个各部分之间关系的集合。在考察目标图像各部分之间的关系时，需要设计一种收集信息的“探针”，称为“结构元素”。“结构元素”一般用大写英文字母表示，例如用S表示。在图像中不断移动结构元素，就可以考察图像之间各部分的关系。一般，结构元素的尺寸要明显小于目标图像的尺寸。12数学形态学-二值形态学二值形态学中的运算对象是集合。设A为图像集合，S为结构元素，数学形态学运算是用S对A进行操作。需要指出，实际上结构元素本身也是一个图像集合。对每个结构元素可以指定一个原点，它是结构元素参与形态学运算的参考点。应注意，原点可以包含在结构元素中，也可以不包含在结构元素中，但运算的结果常不相同。以下用阴影代表值为1的区域，白色代表值为0的区域，运算是对值为1的区域进行的。二值形态学中两个最基本的运算——腐蚀与膨胀。13数学形态学-二值形态学腐蚀与膨胀示意图二值图像腐蚀膨胀14数学形态学-二值形态学-腐蚀腐蚀是最基本的一种数学形态学运算。对一个给定的目标图像X和一个结构元素S，想象一下将S在图像上移动。在每一个当前位置x，S+x只有三种可能的状态：S+x的三种可能的状态xS＋x1S＋x2S＋x3均不为空与CCXxSXxSXxSXxS)3()2()1(})(|{ABzBAZzBBZ)({|}ABzBzA设A和B是整数空间Z中的集合，其中A为原始图像，B为结构元素。B对A的腐蚀定义为：，15数学形态学-二值形态学-腐蚀第一种情形说明S+x与X相关最大，第二种情形说明S+x与X不相关，而第三种情形说明S+x与X只是部分相关。结构元素与图像最大相关点集称为S对X的腐蚀(简称腐蚀，有时也称X用S腐蚀)。腐蚀也可以用集合的方式定义，即},,|{XxSsXxsxSX16数学形态学-二值形态学-腐蚀腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点。如果结构元素取3×3的像素块，腐蚀将使物体的边界沿周边减少一个像素。腐蚀可以把小于结构元素的物体(毛刺、小凸起)去除，这样选取不同大小的结构元素，就可以在原图像中去掉不同大小的物体。如果两个物体之间有细小的连通，那么当结构元素足够大时，通过腐蚀运算可以将两个物体分开。17数学形态学-二值形态学-腐蚀例7-1腐蚀运算图解。下图给出腐蚀运算的一个简单示例。其中，图(a)中的阴影部分为集合X，图(b)中的阴影部分为结构元素S，而图(c)中黑色部分给出了X⊖S的结果。由图可见，腐蚀将图像（区域）收缩小了。腐蚀运算示例(a)(b)(c)＋18数学形态学-二值形态学-腐蚀用3×3(a)原始二值图像(b)3×3结构元素(c)腐蚀结果(a)(b)(c)19数学形态学-二值形态学-腐蚀集合对集合的腐蚀运算过程20数学形态学-二值形态学-膨胀腐蚀可以看作是将图像X中每一与结构元素S全等的子集S+x收缩为点x。反之，也可以将X中的每一个点x扩大为S+x，这就是膨胀运算，定义为},)(|{},|{SsXSzzSXSsXxsxSX或21数学形态学-二值形态学-膨胀B对A的膨胀运算过程22数学形态学-二值形态学-开运算和闭运算在腐蚀和膨胀两个基本运算的基础上，可以构造出形态学运算族，它由膨胀和腐蚀两个运算的复合与集合操作（并、交、补等）组合成的所有运算构成。例如，可先对图像进行腐蚀然后膨胀其结果，或先对图像进行膨胀然后腐蚀其结果（这里使用同一个结构元素）。前一种运算称为开运算（或开启），后一种运算称为闭运算（闭合）。开运算和闭运算是形态学运算族中两个最为重要的组合运算。SSXSXSSXSX)()(闭运算：开运算：23xyOS1yxS2OXX○S1X○S2X(a)(b)(c)数学形态学-二值形态学-开运算和闭运算开运算去掉了凸角(a)结构元素S1和S2；(b)X○S1；(c)X○S2}|{XxSxSSX24数学形态学-二值形态学-开运算和闭运算SXSXCCC)(闭运算填充了凹角(a)结构元素S1和S2；(b)X●S1；(c)X●S2xyOS1yxS2OXX●S2X(a)(b)(c)X●S1S1S125数学形态学-二值形态学-开运算和闭运算开、闭运算示例(a)原图像；(b)结构元素S；(c)结构元素S腐蚀图像X；(d)结构元素S腐蚀X的结果；(e)对腐蚀的结构再膨胀；(f)再膨胀（开运算）的结果X○S；(g)结构元素S膨胀X；(h)结构元素S膨胀X的结果；(i)对膨胀的结果再腐蚀；(j)再腐蚀的结果（闭运算）X●S26数学形态学-灰值形态学-灰值腐蚀用结构元素b对输入图像f(x,y)进行灰值腐蚀记为fb，其定义为:（fb）(s,t)=min{f(s+x,t+y)-b(x,y)｜s+x,t+y∈Df,x+y∈Db}式中，Df和Db分别是f和b的定义域。这里限制(s+x)和(t+y)在f的定义域之内，类似于二值腐蚀定义中要求结构元素完全包括在被腐蚀集合中。27数学形态学-灰值形态学-灰值腐蚀为简单起见，用一维函数来可简化为（fb）(s)=min{f(s+x)-b(x)｜s+x,∈Df,x∈Db}式中，Df和Db分别是f和b的定义域。对正的s,f(s+x)移向右边，对负的s，f(s+x)移向左边。要求(s+x)在f的定义域内并要求x的值在b的定义域内，是为了把b完全包含在f的平移范围内。28数学形态学-灰值形态学-灰值腐蚀灰值腐蚀示意图(a)图像f；(b)结构元素b；(c)用结构元素b对f腐蚀；(d)用结构元素b对f腐蚀的结果01234567123yx123y0123－1－2xb(a)(b)Ofs(c)Ofs(d)s′s″fb)()(xsbsf－＋)()(xsbsf－＋29数学形态学-灰值形态学-灰值腐蚀灰值腐蚀与膨胀前后的图像(a)原始图像;(b)灰值腐蚀后的图像;(c)灰度膨胀后的图像30数学形态学-灰值形态学-灰值腐蚀腐蚀的计算是在由结构元素确定的邻域中选取fb的最小值，因此，对灰值图像的腐蚀操作有两类效果：①如果结构元素的值都为正的，则输出图像会比输入图像暗；②如果输入图像中亮细节的尺寸比结构元素小，则其影响会被减弱，减弱的程度取决于这些亮细节周围的灰度值和结构元素的形状和幅值。31数学形态学-灰值形态学-灰值膨胀用结构元素b对输入图像f(x,y)进行灰值膨胀记为fb，其定义为(fb)(s,t)=max{f(s-x,t-y)+b(x,y)|s-x,t-y∈Df,x+y∈Db}式中，Df和Db分别是f和b的定义域。这里限制(s-x)和(t-y)在f的定义域之内，类似于在二值膨胀定义中要求两个运算集合至少有一个（非零）元素相交。上式与二维离散函数的卷积的