指数函数及其性质导学案

2.1.2指数函数及其性质（学案）（第1课时）【知识要点】1.指数函数；2.指数函数的图象；3.指数函数的单调性与特殊点【学习要求】1.理解指数函数的概念与意义；2.能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象，并理解指数函数的单调性与特殊点；【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第54页～第57页）1.指数函数的概念（1）函数xy073.1与xy)21(的特点是.（2）一般地，函数xay（）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是.2.指数函数的图象与性质（1）列表、描点、作图象xxy2xy)21(图象xy2xy)21(25.115.005.015.12（2）两个图象的关系函数xy2与xy)21(的图象，都经过定点，它们的图象关于对称.通过图象的上升和下降可以看出，是定义域上的增函数，是定义域上的减函数.（3）类比以上函数的图像，总结函数性质，填写下列表格：10a1a图象定义域值域性质【基础练习】1.指出下列哪些是指数函数（1）xy4；（2）4xy；（3）xy4；（4）xy)4(；（5）xy；（6）24xy；（7）xxy；（8）)121()12(aaayx且.2.作出xy3的图象.3.求下列函数的定义域及值域：（1）3xay；（2）xxy223；（3）11)21(xy4.下列关系中正确的是（）.（A）313232)21()51()21(（B）323231)51()21()21(（C）323132)21()21()51(（D）313232)21()21()51(【典型例题】例1已知指数函数)1,0()(aaaxfx且的图象经过点),3(，求)0(f，)1(f，)3(f的值.例2比较下列各题中两个值的大小：（1）5.27.1，37.1；（2）1.08.0，2.08.0；（3）3.07.1，1.39.0.1.函数bxaaay)33(2是指数函数，则有（）.（A）1a或R,2ba（B）0,1ba（C）0,2ba（D）0,10baa且2.若函数)(xf与xxg)21()(得图象关于y轴对称，则满足1)(xf的x的取值范围是（）.（A）R（B）)0,(（C）),0(（D）),1(3.函数1222xxy的定义域是（）.（A）}22{xx（B）}21{xx（C）}1{xx（D）R4.若集合R},2{xyyAx，R},{2xxyyB，则（）.（A）BA（B）BA（C）BA（D）BA5.函数xaxf)1()(是R上的减函数，则a的取值范围是（）.（A）0a（B）01a（C）10a（D）1a6.函数13xy的定义域和值域分别为.7.函数)10(2aaayx且的图象必经过点.8.某厂从今年起每年计划增产%8，则经过5年，产量能达到现在的倍（精确到01.0）.9.（1）比较21)54(与31)109(的大小并说明理由.（2）已知2ba且1b，比较aa与bb2的大小.10.已知函数baxfx2)(的图象过点)3,21(和)2,0(.（1）求)(xf的解析式；（2）画函数)(xfy的图象；1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的43，写出存留污垢y与漂洗次数x的函数关系式，若要使存留污垢不超过原来的%1，则至少要漂洗几次？2.1.2指数函数及其性质（教案）（第1课时）【教学目标】1.使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系.2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点.3.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般过程、数形结合的方法等.【重点】指数函数的概念和性质.【难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第54页～第57页）1.指数函数的概念（1）函数xy073.1与xy)21(的特点是解析式都可以表示为xay的形式.（2）一般地，函数xay（1,0aa且）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.2.指数函数的图象与性质（1）列表、描点、作图象xxy2xy)21(图象xy2xy)21(225.0415.025.070711.0414.10115.0414.170711.0125.02425.0（2）两个图象的关系函数xy2与xy)21(的图象，都经过定点)1,0(，它们的图象关于y轴对称.通过图象的上升和下降可以看出，xy2是定义域上的增函数，xy)21(是定义域上的减函数.（3）类比以上函数的图像，总结函数性质，填写下列表格：10a1a图象定义域RR值域),0(),0(性质过定点)1,0(，即0x时，1y在R上时减函数在R上时增函数【基础练习】1.指出下列哪些是指数函数（1）xy4；（2）4xy；（3）xy4；（4）xy)4(；（5）xy；（6）24xy；（7）xxy；（8）)121()12(aaayx且.解：是指数函数的有（1），（4），（5），（8）.2.作出xy3的图象.解：0,30,33xxyxxx，如图：3.求下列函数的定义域：（1）3xay；（2）xxy223；（3）11)21(xy解：（1）要使式子有意义，则需要03x，即3x，定义域为),3[.（2）要使式子有意义，则需要xx22为实数，因此，定义域为R.（3）要使式子有意义，则需要11x有意义，定义域为1xx.4.下列关系中正确的是（D）.（A）313232)21()51()21(（B）323231)51()21()21(（C）323132)21()21()51(（D）313232)21()21()51(【典型例题】例1已知指数函数)1,0()(aaaxfx且的图象经过点),3(，求)0(f，)1(f，)3(f的值.【审题要津】结合以前学过的求函数解析式的方法，本题中只要求出参数a就可以了.解：因为xaxf)(得图象经过点),3(，所以)3(f，即3a解得31a，于是3)(xxf.所以，1)0(0f，331)1(f，1)3(1f.【方法总结】从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，即只需要列一个方程即可.向学生渗透方程的思想.例2比较下列各题中两个值的大小：（1）5.27.1，37.1；（2）1.08.0，2.08.0；（3）3.07.1，1.39.0.【审题要津】（1），（2）利用指数函数单调性，（3）要构造中间数解：（1）5.27.1，37.1可看作函数xy7.1的两个函数值.由于底数17.1，所以指数函数xy7.1在R上是增函数.因为35.2，所以35.27.17.1.（2）2.01.08.0,8.0可看作函数xy8.0的两个函数值.由于底数18.00，所以指数函数xy8.0在R上是减函数.因为2.01.0，所以2.01.08.08.0.（1）由指数函数的性质知17.17.103.019.09.001.3所以1.33.09.07.1.【方法总结】比较幂值的大小常常华化为同底数的幂，利用指数函数的单调性比较大小，或者借助幂值的范围利用中间数值过渡，常用的数值可能是0或1.根据具体情况也可能是其他数值.1.函数bxaaay)33(2是指数函数，则有（C）.（A）1a或R,2ba（B）0,1ba（C）0,2ba（D）0,10baa且2.若函数)(xf与xxg)21()(得图象关于y轴对称，则满足1)(xf的x的取值范围是（C）.（A）R（B）)0,(（C）),0(（D）),1(3.函数1222xxy的定义域是（B）.（A）}22{xx（B）}21{xx（C）}1{xx（D）R4.若集合R},2{xyyAx，R},{2xxyyB，则（A）.（A）BA（B）BA（C）BA（D）BA5.函数xaxf)1()(是R上的减函数，则a的取值范围是（B）.（A）0a（B）01a（C）10a（D）1a6.当]1,1[x时，函数xxf3)(的值域是]3,31[.7.函数)10(2aaayx且的图象必经过点)1,2(.8.某厂从今年起每年计划增产%8，则经过5年，产量能达到现在的47.1倍（精确到01.0）.9.（1）比较21)54(与31)109(的大小并说明理由.（2）已知2ba且1b，比较aa与bb2的大小.解：（1）21)54(与31)109(底数不同，指数也不同，应插入一个中间量进行比较.根据两个数的特征应插入31)54(或21)109(.xy在,0(）上是增函数2121)109()54(，又3121.11090，xy)109(是减函数，3121)109()109(3131)109()54(（2）2ba只需比较22bb与bb2的大小bbb2,1，即bb222又xby是增函数，bbbb222，即baba210.已知函数baxfx2)(的图象过点)3,21(和)2,0(.(1)求)(xf的解析式；(2)画函数)(xfy的图象；解：（1）由题意知：21)0(,3)21(bfbaf，解得：12ba1412)(2xxxf（2）1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的43，写出存留污垢y与漂洗次数x的函数关系式，若要使存留污垢不超过原来的%1，则至少要漂洗几次？解：设未漂洗时衣服上的污垢量为)0(aa,经过x次漂洗后，存留污垢量为y，则经过第一次漂洗，41)431(aay，经过第二次漂洗，2)41()431(41aay…………经过第x次漂洗，xaay)41(......4141若使存留污垢不超过原来的%1，即%1ay，%1)41(aax1004x4342561006444x至少要漂洗4次，存留污垢才不会超过原来的%1.