等腰三角形的性质定理和判定定理

一.本周教学内容：等腰三角形的性质和判定二.教学目标：（一）知识与技能：（1）掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活运用。（2）能用上述结论进行分析与说理，进行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理能力。（二）情感态度与价值观：通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明体现数学的应用价值。三.重点、难点：重点是等腰三角形的性质定理和判定定理难点是利用定理解决实际问题四.教学过程：（一）知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C（3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。知识点2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）（2）符号语言：∵AB=AC∵AB=AC∵AB=AC∠1=∠2AD⊥BCBD=DC∴AD⊥BC，BD=DC∴∠1=∠2∴∠1=∠2BD=DCAD⊥BC（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。知识3：等腰三角形的判定定理（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在△ABC中∵∠B=∠C∴AB=AC（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（AAS）∴AB=AC（4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义2、利用定理。【典型例题分析】基础知识应用题：例1.如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。解：∵AP=PQ=AQ（已知）∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质）∵AP=BP（已知）∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°∴∠PBA=∠PAB=30°同理∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°解答此类题的步骤如下：（1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。（2）利用三角形内角和定理，确定等量关系，借助等式或方程求解。例2.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。求证：△DEF是等腰三角形。证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质）∠B=∠DEF（已知）∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等）在△BED和△CFE中∠BDE=∠FEC中（已证）BD=CE（已知）∠B=∠C（已知）∴△BED≌△CFE（ASA）∴DE=EF（全等三角形对应边相等）∴△DEF是等腰三角形（等腰三角形定义）综合应用题：例3.已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD证明：∵AB∥CD（已知）∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等）∵OA=OB（已知）∴∠A=∠B（等边对等角）∴∠C=∠D（等量代换）∴OC=OD（等角对等边）例4.如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。证法一：证明：作DE⊥AB于E∵DA=DBDE⊥AB∴AE=BE=∵AB=2AC∴AE=AC在△AED和△ACD中∴△AED≌△ACD∴∠C=∠AED=90°∴DC与AC的位置关系为：DC⊥AC证法二：证明：延长AC到F，使CF=AC，连结DF∵AB=2AC，AF=2AC∴AB=AF在△ABD和△AFD中∴△ABD≌△AFD∴DF=DB∵DA=DB∴DA=DF又∵AC=CF∴DC⊥AF说明：法一是利用了“截长法”即在长线段AB上截取AE=AB法二是利用了“补短法”即在短线段AC上补足AF=AB，从而达到解决问题的目的。例5.求证：等腰三角形两腰上的中线相等解：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的中线求证：BD=CE证明：∵BD，CE是△ABC的中线∴AE=AB，AD=AC∵AB=AC∴AE=AD在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）说明：这是一个证明文字叙述的几何命题的题目，做这类题时首先要分清题设，结论，画出草图，结合图形写出：已知、求证、然后再证明。例6.如图，点C为线段AB上的一点，△ACM，△BCN是等边三角形，AN，MC相交于点E，CN与BM相交于点F。（1）求证AN=BM（2）求证△CEF为等边三角形证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠NCB=60°∴∠ACN=∠BCM=120°在△ACN和△MCB中∴△ACN≌MCB（SAS）∴AN=BM（2）由（1）中△ACN≌△MCB∴∠ANC=∠MBC在△CEN和△CFB中∴△CEN≌△CFB（ASA）∴CE＝CF又∵∠ECF＝60°∴△CEF为等边三角形例7.下面是数学课堂的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，苏老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知，等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角。”同学们经片刻的思考与交流后，李明举手讲：“其余两角30°和120°，”卫华同学说：“其余两角是75°和75°”还有一些同学也提出了不同的看法……（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）解略【模拟试题】（答题时间：25分钟）1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°2.如图，△ABC中AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A.30°B.36°C.95°D.70°3.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，那么∠ABC的大小是（）A.40°B.45°C.50°D.60°4.聪明的小明用含有30°角的两个完全相同的三角板拼成如图所示的图案，并发现图中有等腰三角形，请你帮他找出两个等腰三角形：。5.如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=度。6.在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的大小为。7.如图，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF是等边三角形（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想是正确的。（2）你所证明相等的线段可以通过怎么样的变化相互得到？写出变化过程。【试题答案】1.D2.B3.B4.△ABE，△BEC或△CED5.220°6.65°或25°7.解：（1）图中还有相等的线段AE=BF=CD，AF=BD=CE（2）线段AE、BF、CD绕△ABC的中心按顺时针方向旋转120°互相得到线段。AF、BD、CE绕△ABC的中心按顺时针方向旋转120°互相得到。