数学必修二知识点+练习2.1 空间点.直线.平面之间的位置关系教师

2.1空间点.直线.平面之间的位置关系2.1.1平面(1)平面概念的理解直观的理解：桌面、黑板面、平静的水面等等都给人以平面的直观的印象，但它们都不是平面，而仅仅是平面的一部分。注：抽象的理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄。(2)平面的表示法①图形表示法：通常用平行四边形来表示平面，有时根据实际需要，也用其他的平面图形来表示平面。②字母表示：常用等希腊字母表示平面。(3)平面的基本性质公理1：如果一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。符号表示为：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α注意：如果直线上所有的点都在一个平面内，我们也说这条直线在这个平面内，或者称平面经过这条直线。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A∈α，B∈α，C∈α注意：“有且只有”的含义是：“有”表示存在，“只有”表示唯一，不能用“只有”来代替．此公理又可表示为：不共线的三点确定一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P∈α，且B∈β⇒α∩β=l，且P∈l公理的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系(1)空间两条直线的位置关系共面直线：①相交直线：在同一个平面内，有且仅有一个公共点;②行直线：在同一个平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。(2)平行直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a∥c、b∥c⇒a∥b定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等或互补。(3)两条异面直线所成的角注意：①两条异面直线a，b所成的角的范围是（0°，90°）。②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出。③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法：(i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点。(ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法来实现。(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角，这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围。2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面位置关系有且只有三种：(1)直线在平面内：有无数个公共点；(2)直线与平面相交：有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行：没有公共。．2.1.4平面与平面之间的位置关系两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：(1)两个平面平行：没有公共点；(2)两个平面相交：有一条公共直线。基础习题1.空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，AC=BD，判断四边形EFGH是什么图形？1.分析：判断四边形EFGH是什么图形，只要找出EF与HG，EH与FG的关系，为了找出他们之间的关系，添加辅助线，作为中间量过渡。解析:如图：连接BD，因为EH是ABD的中位线，所以EHBD且12EHBD同理得FGBD且12FGBD，所以1,EH2EHFGFGBD且连接AC，同理得1,EF2EFHGHGAC且因为AC=BD所以四边形EFGH是菱形点评：这是一类非常基础而常见的问题，考查的公理4平行于同一直线的两条直线互相平行，一般要证两直线平行，只需要找到一条直线使它与要证的两直线都平行即可。有时这条直线在图中比较难找，可添加辅助线。2.已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且23CFCGGBCD，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点。2.分析：要证三线共点，可证其中两条直线有交点，且该点在第三条直线上。解析：因为E、H分别是边AB、AD的中点，所以EH是ABD的中位线，即1EH2EHBDBD且，因为23CFCGGBCD，所以FGBDBD2且FG=3，所以四边形EFGH是梯形，它的两腰EF、GH必相交于一点，设交点为PEFEFPABC直线，平面，所以PABC平面同理PADC平面，而平面ABCADC=AC平面平面直线所以P在平面ABC与平面ADC的交线AC上所以直线EF、GH、AC交于一点。点评：在空间几何中，平面几何证多线共点的方法仍然适用，只是在思考中就考虑到空间几何的新特点。公理3是证明空间线共点的主要依据。对公理3不会应用，就想不到EF，GH延长相交。3.正方体1111ABCDABCD中，E分别是1BB的中点，求直线AE与BD所成角的余弦值。3.分析：要求异面直线所成的角，一般把异面直线平移到同一平面内，再用平面几何的公式来计算。解析：作1CC的中点F，连接DF、BF，得DFAE，所以FDB是直线AE与BD所成的角。设正方体的边长为2,在BDF中，5,22DFBFBD，所以BDF是等腰三角形。在等腰BDF中，作BD的中点G，连接FG，则BG=DG=2，所以210coscos55FDBFDG点评：由于异面直线所成的角是通过平面来定义的，所以求异面直线所成的角时，将一条或或两条平移到某一点转化为平面几何问题后，利用解三角形来求角。解决这类问题，通常经过“作（平行线）－证（平行）－算（解三角形）”三个步骤，其中，作平行线是关键。4.如图，111ABCABC是直三棱柱，90oBAC，点F是11AC的中点，若1BACAAA，求1BA与AF所成的角的余弦值。4.分析：要求异面直线1BA与AF所成角，就想办法把1BA，AF移到同一个平面中，但在直三棱柱中，比较难把1BA，AF移到同一个平面中，由1BACAAA想到把直三棱柱，构造成一个正方体，再把1BA或AF平移。解析：如图，把直三棱柱，补成一个正方体1111ABDCABDC，作11BD的中点E，连接BE，易得BEAF，所以1ABE是直线1BA与AF所成的角。设12BACAAA，在1ABE中，122AB，15EABE在等腰1ABE中，作1AB的中点G，连接EG，则1BG=AG=2，所以1210cos55ABE点评：把异面直线平移到同一平面内，常用的方法有构造三角形中位线，平行四边形，平行线分线段成比例定理的推论等，有时比较难直接平移，我们就可以用构造长方体或正方体的方法。