(概率论与数理统计-茆诗松)-第5章-统计量及其分布(5.5)

§5.5充分统计量5.5.1充分性的概念例5.5.1为研究某个运动员的打靶命中率，我们对该运动员进行测试，观测其10次，发现除第三、六次未命中外，其余8次都命中。这样的观测结果包含了两种信息：(1)打靶10次命中8次；(2)2次不命中分别出现在第3次和第6次打靶上。第二种信息对了解该运动员的命中率是没有什么帮助的。一般地，设我们对该运动员进行n次观测，得到x1,x2,…,xn，每个xj取值非0即1，命中为1，不命中为0。令T=x1+…+xn，T为观测到的命中次数。在这种场合仅仅记录使用T不会丢失任何与命中率有关的信息，统计上将这种“样本加工不损失信息”称为“充分性”。样本x=(x1,x2,…,xn)有一个样本分布F(x)，这个分布包含了样本中一切有关的信息。统计量T=T(x1,x2,…,xn)也有一个抽样分布FT(t)，当我们期望用统计量T代替原始样本并且不损失任何有关的信息时，也就是期望抽样分布FT(t)像F(x)一样概括了有关的一切信息，这即是说在统计量T的取值为t的情况下样本x的条件分布F(x|T=t)已不含的信息，这正是统计量具有充分性的含义。定义5.5.1设x1,x2,…,xn是来自某个总体的样本，总体分布函数为F(x;)，统计量T=T(x1,x2,…,xn)称为的充分统计量，如果在给定T的取值后，x1,x2,…,xn的条件分布与无关.24充分性原则：在统计学中有一个基本原则--在充分统计量存在的场合，任何统计推断都可以基于充分统计量进行，这可以简化统计推断的程序。直接由定义出发验证一个统计量是充分统计量是困难的。因子分解定理：简单的方法判断一个统计量是否充分定理5.5.1设总体概率函数为f(x;)，X1,…,Xn为样本，则T=T(X1,…Xn)为充分统计量的充分必要条件是：存在两个函数g(t;)和h(x1,…,xn)，使得对任意的和任一组观测值x1,x2,…,xn，有f(x1,x2,…,xn;)=g(T(x1,x2,…,xn);)h(x1,x2,…,xn)(5.5.2)其中，g(t,)是通过统计量T的取值而依赖于样本的；h(x1,x2,…,xn)是样本的函数，与无关例5.5.4设x1,x2,…,xn是取自总体U(0,)的样本，即总体的密度函数为p(x;)=1/,0x0,其他于是样本的联合密度函数为p(x1;)…p(xn;)=0,其它(1/)n,0minximaxxi取T=x(n)，并令g(t;)=(1/)nIt,h(x)=1，由因子分解定理知T=x(n)是的充分统计量。p(x1;)…p(xn;)=0,其它(1/)n,0minximaxxi由于诸xi0，所以我们可将上式改写为p(x1;)…p(xn;)=(1/)nIx(n)例5.5.5设x1,x2,…,xn是取自总体N(,2)的样本，=(,2)是未知的，则联合密度函数为2/2212122/2222121(,,;)(2)exp()21(2)expexp222nnniinnniiiipxxxnxx取t1=xi,t2=xi2,并令g(t1,t2,)=(22)-n/2exp-n2/(22)exp(t22t1)/(22),其中h(x)=1，由因子分解定理，T=(xi,xi2)是充分统计量。2/2212122/2222121(,,;)(2)exp()21(2)expexp222nnniinnniiiipxxxnxx是一一对应的，这说明在正态总体场合常用的进一步，统计量T=(xi,xi2)与(x,s2)(x,s2)是充分统计量。246