中考数学专题圆的切线精华习题

1中考数学专题圆的位置关系第一部分真题精讲【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若DE=2，tanC=12，求⊙O的直径．OEDCBAOEDCBA【解析】（1）证明：联结OD．∵D为AC中点，O为AB中点，∴OD为△ABC的中位线．∴OD∥BC．∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°.∴∠ODE=∠DEC=90°.∴OD⊥DE于点D.∴DE为⊙O的切线．（2）解：联结DB．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°.∵D为AC中点，∴AB=AC．在Rt△DEC中，∵DE=2，tanC=12，∴EC=4tanDEC.由勾股定理得：DC=25.在Rt△DCB中,BD=tan5DCC．由勾股定理得：BC=5.∴AB=BC=5.∴⊙O的直径为5.【例2】已知：如图，⊙O为ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF，过点A作ADBF于点D.（1）求证：DA为⊙O的切线；（2）若1BD，1tan2BAD，求⊙O的半径.OFDCBA3421OFDCBA【解析】证明：连接AO.∵AOBO，∴23.∵BACBF平分，∴12.∴31.∴DB∥AO.∵ADDB,∴90BDA.∴90DAO.∵AO是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线.（2）∵ADDB,1BD，1tan2BAD，∴2AD.由勾股定理，得5AB.∴5sin45.∵BC是⊙O直径，∴90BAC.∴290C.又∵4190,21,∴4C.在Rt△ABC中，sinABBCC=sin4AB=5.∴⊙O的半径为52.2【例3】已知：如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且.OAABAD（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且8BE，5tan2BFA，求⊙O的半径长.【解析】（1）证明：连接OB.∵,OAABOAOB，∴OAABOB.∴ABO是等边三角形.∴160BAO.∵ABAD，∴230D∴1290.∴DBBO.又∵点B在⊙O上，∴DB是⊙O的切线.（2）解：∵CA是⊙O的直径，∴90ABC.在RtABF△中，5tan2ABBFABF,∴设5,ABx则2BFx，∴223AFABBFx.∴23BFAF.∵,34CE,∴BFE∽AFC.∴23BEBFACAF.∵8BE,∴12AC.∴6AO【例4】如图，等腰三角形ABC中，6ACBC，8AB．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DFAC，垂足为F，交CB的延长线于点E．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）求sinE的值．DFGCOBEADFGCOBEA【解析】（1）证明：如图，连结CD，则90BDC．∴CDAB．∵ACBC，∴ADBD．∴D是AB的中点．∵O是BC的中点，∴DOAC∥．∵EFAC于F．∴EFDO．∴EF是⊙O的切线．(2)连结BG，∵BC是直径,∴90BGCCFE．∴BGEF∥．∴sinFCCGEECBC．设CGx，则6AGx．在RtBGA△中，222BGBCCG．在RtBGC△中，222BGABAG．∴2222686xx．解得23x．即23CG．在RtBGC△中．∴213sin69CGEBC．FEDCBAO231FEDCBA4O3【例5】如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E.（1）若ED与⊙A相切，试判断GD与⊙A的位置关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC＝CD＝5，求AD的长.GFEDCBA654321GFEDCBA【解析】（1）结论：GD与O相切（2）证明：连接AG∵点G、E在圆上，∴AGAE∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC∥∴123B，∵ABAG∴3B∴12在AED和AGD12AEAGADAD∴AEDAGD≌∴AEDAGD∵ED与A相切∴90AED∴90AGD∴AGDG∴GD与A相切（2）∵5GCCD，四边形ABCD是平行四边形∴ABDC，45，5ABAG∵ADBC∥∴46∴1562B∴226∴630∴10AD.如图△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，与AB切于点D，求证：与AC也相切。如图，中，AB=AC，=，O、D将BC三等分，以OB为圆心画，求证：与AC相切。4第二部分发散思考【思考1】如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.【思考2】已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若⊙O的半径等于4，4tan3ACB，求CD的长.【思考3】已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC=4,cosC=13时，求⊙O的半径.【思路分析】这是一道去年北京中考的原题，有些同学可能已经做过了。主要考点还是切线判定，等腰三角形性质以及解直角三角形，也不会很难。放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到的那些题是一个意思。【思考4】如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为BC上一点，CE⊥AD于E.求证：AE=BD+DE．【思路分析】前面的题目大多是有关切线问题，但是未必所有的圆问题都和切线有关，去年西城区这道模拟题就是无切线问题的代表。此题的关键在于如何在图形中找到和BD相等的量来达到转化的目的。如果图形中所有线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的线段关系。【思考5】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．【思路分析】又是一道非常典型的用角证平行的题目。题目中虽未给出AC评分角EAD这样的条件，但是通过给定CE=CF，加上有一个公共边，那么很容易发现△EAC和△CAF是全等的。于是问题迎刃而解。第二问中依然要注意找到已知线段的等量线段，并且利用和，差等关系去转化。ABCDOEFAOBCD5第三部分思考题解析【思考1解析】1）证明:如图,连接AO并延长交⊙O于点E,连接BE,则∠ABE=90°.∴∠EAB+∠E=90°.∵∠E=∠C,∠C=∠BAD，∴∠EAB+∠BAD=90°.∴AD是⊙O的切线.（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.∵AE=2AO=6,AB=4,∴5222ABAEBE.∵∠E=∠C=∠BAD,BD⊥AB,∴.coscosEBAD∴.AEBEADAB.6524AD即∴5512AD.【思考2解析】解：（1）直线BD与⊙O相切．证明：如图3，连结OB．-∵∠OCB=∠CBD+∠D，∠1=∠D，∴∠2=∠CBD．∵AB∥OC，∴∠2=∠A．∴∠A=∠CBD．∵OB=OC，∴23180BOC，∵2BOCA，∴390A．∴390CBD．∴∠OBD=90°．∴直线BD与⊙O相切．（2）解：∵∠D=∠ACB，4tan3ACB，∴4tan3D．在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB=4，4tan3D，∴4sin5D，5sinOBODD．∴1CDODOC．【思考3解析】1）证明：连结OM，则OMOB．∴12．∵BM平分ABC．∴13．∴23．∴OMBC∥．∴AMOAEB．在ABC△中，ABAC，AE是角平分线，∴AEBC⊥．∴90AEB°．∴90AMO°．∴OMAE⊥．∴AE与O⊙相切．（2）解：在ABC△中，ABAC，AE是角平分线，∴12BEBCABCC，．∵14cos3BCC，，∴11cos3BEABC，．在ABE△中，90AEB°，∴6cosBEABABC．设O⊙的半径为r，则6AOr．∵OMBC∥，∴AOMABE△∽△．∴OMAOBEAB．∴626rr．解得32r．∴O⊙的半径为32．EABCDO321CDOABOBGECMAF1236【思考4解析】证明：如图3，在AE上截取AF=BD，连结CF、CD．在△ACF和△BCD中，,,,ACBCCAFCBDAFBD∴△ACF≌△BCD．∴CF=CD.∵CE⊥AD于E，∴EF=DE.∴AEAFEFBDDE.【思考5解析】证明：（1）连接OC,,,,12.,23.13.//..AECDCFABCECFOAOCOCAEOCCDDEO又是的切线.00(2)6,13.23,6,30.60.9,1922,3.ABOBOCABRtOCDOCODOBBDDCODRtADEDABBDAEADOBCOBOCBCOB0解：在中，在中，A在中，COD=60FOEABCD