2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第26讲 选择题的解法

第二部分方法技巧篇专题九解题方法技巧第一讲选择题的解法数学选择题在当今高考试卷中，不但题目数量多，且占分比例高．高考中数学选择题的主要特点是概括性强，知识覆盖面宽，小巧灵活，有一定的综合性和深度．考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题成为得分的关键．解选择题，一要会想，二要少算．数学选择题，都是四选一，其中必有一项正确，若不关注选项，小题大做，把选择题做成了解答题，会事倍而功半．这就是说，解选择题的基本原则是：“小题不用大做”．解题的基本策略是：要充分利用题设和选择支两方面所提供的信息作出判断．一般来说，能定性判定的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判定的，就不必采用常规解法；能使用间接解法的，就不必采用直接解法；对于明显可以否定的选择支，应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选择最优解法等等．数学选择题的求解，一般有两种思路，一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件．由于选择提供了备选答案，又不要求写出解题过程，因此出现了一些特有的解法，在选择题求解中很适用，下面介绍几种常用方法．1．直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算或推理，直接求得结论，再与选择支对照，从而作出判断选择的一种方法．2．筛选法(也叫排除法，淘汰法)：使用筛选法的前提是“答案唯一”，具体做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论．3．特例法(也叫特殊值法)：就是运用满足题设条件的某些特殊值、特殊关系或特殊图形对选择支进行检验或推理，从而判明真伪．4．图解法：就是借助于图形或图象的直观性，数形结合，经过推理判断或必要的计算而选出正确答案．以上方法应结合起来灵活运用，可结合以下例题，认真体会.题型一直接法直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．【例1】二次函数y＝a(a＋1)x2－(2a＋1)x＋1，当a＝1,2…n时，其图象在x轴上，截得的弦长依次为d1、d2、…dn，则d1＋d2＋…＋dn的值为()A.nn＋1B.1nn＋1C.1n＋1D．1解析：令y＝0，a＝k，得k(k＋1)x2－(2k＋1)x＋1＝0，(k∈N*)即(kx－1)[(k＋1)x－1]＝0，x1＝1k，x2＝1k＋1，弦长dk＝|x1－x2|＝1k－1k＋1令k＝1,2…n，得d1＋d2＋…＋dn＝(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝1－1n＋1＝nn＋1，故选A.答案：A拓展提升——开阔思路提炼方法一提到求弦长，很容易想到利用韦达定理，走“设而不求”的道路，可就本题而言，那样反倒更麻烦，直接求根这种最原始的手段，反而更为简便．既然根可以求出，用韦达定理的前提条件—先计算一元二次方程根的判别式并判断非负的复杂过程，也可以免去．1．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于()A．13B．2C.132D.213解析：∵f(x＋2)＝13fx，∴f(x＋4)＝13fx＋2＝1313fx＝f(x)．∴函数f(x)为周期函数，且T＝4.∴f(99)＝f(4×24＋3)＝f(3)＝13f1＝132.答案：C【例2】若函数f(x)＝a|2x－4|(a0，a≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]解析：由f(1)＝19，得a2＝19，于是a＝13，因此f(x)＝13|2x－4|.因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．答案：B拓展提升——开阔思路提炼方法首先要熟练掌握复合函数单调性的判断方法：“同增异减”；其次要熟练掌握形如y＝|ax＋b|(a0)的函数的一些常用性质：例如其定义域为R，值域为[0，＋∞)，其图象的对称轴为直线x＝－ba，在区间－∞，－ba上单调递减，在－ba，＋∞上单调递增等．2．(2009·临沂模拟)已知f(x)＝2009x－12009x＋1＋xcosx＋3，x∈[－1，1]，设函数f(x)的最大值是M，最小值是N，则()A．M＋N＝8B．M－N＝3C．M＋N＝6D．M－N＝4解析：令g(x)＝f(x)－3＝2009x－12009x＋1＋xcosx，x∈[－1,1]．∵g(x)是奇函数，∴g(x)在[－1,1]上的最大值与最小值互为相反数．即g(x)max＋g(x)min＝0，∴f(x)max－3＋f(x)min－3＝0.∴M＋N＝6.答案：C题型二数形结合法“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的．对于题干中图象意义比较明显的试题，一般可用数形结合法求解．【例3】若0≤α2π，sinα3cosα，则α的取值范围是()A.π3，π2B.π3，πC.π3，4π3D.π3，3π2解析：∵sinα3cosα，∴sinα－3cosα0，即212sinα－32cosα＝2sinα－π30，又∵0≤α2π，∴－π3≤α－π35π3，∴0α－π3π，即α∈π3，4π3.答案：C拓展提升——开阔思路提炼方法本题采用的求解方法叫做数形结合法，数形结合法就是把抽象的数学语言与直观图形结合起来，也就是使抽象思维和形象思维有机结合，通过“以形助数”或“以数解形”，达到把复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．此题重点考察三角函数中两角和与差的正余弦公式逆用，以及正余弦函数的图象．数形结合是解三角不等式的最佳工具．作图过程中要能够将两曲线的交点以及各函数的特征描述清楚，明确题目条件．作图错误、忽视定义域等是求解错误的主要原因．3．函数y＝|log12x|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，则区间[a，b]的长度b－a的最小值是()A．2B.32C．3D.34解析：作出函数y＝|log12x|的图象，如图所示，由y＝0解得x＝1；由y＝2，解得x＝4或x＝14.所以区间[a，b]的长度b－a的最小值为1－14＝34.答案：D【例4】函数f(x)＝1－|2x－1|，则方程f(x)·2x＝1的实根的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：方程f(x)·2x＝1可化为f(x)＝12x，在同一坐标系下分别画出函数y＝f(x)和y＝12x的图象，如图所示．可以发现其图象有两个交点，因此方程f(x)＝12x有两个实数根．答案：C拓展提升——开阔思路提炼方法一般地研究一些非常规方程的根的个数以及根的范围问题，要多考虑利用数形结合法．方程f(x)＝0的根就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象的交点的横坐标．利用数形结合法解决方程根的问题的前提是涉及的函数的图象是我们熟知的或容易画出的，如果一开始给出的方程中涉及的函数的图象不容易画出，可以先对方程进行适当的变形，使得等号两边的函数的图象容易画出时再进行求解．4．已知向量OB→＝(2,0)，OC→＝(2,2)，CA→＝(2cosα，2sinα)，则向量OA→＋OB→与OB→的夹角范围为()A.0，π4B.π4，5π12C.5π12，π2D.π12，5π12解析：如图，点A的轨迹是以C(2,2)为圆心、2为半径的圆．过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N.连接CM，CN.∵|OC→|22，∴|CM→|＝|CN→|=12|OC→|.知∠COM＝∠CON＝π6，又∵∠COB＝π4，∴∠MOB＝π12，∠NOB＝512π.选D.答案：D题型三特例法特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．【例5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2nan＝4n－12n－1，则S2nSn的值为()A．2B．3C．4D．8解析：方法一(特殊值检验法)取n＝1，得a2a1＝31，∴a1＋a2a1＝41＝4，于是，当n＝1时，S2nSn＝S2S1＝a1＋a2a1＝4.方法二(特殊式检验法)注意到a2nan＝4n－12n－1＝2·2n－12·n－1，取an＝2n－1，S2nSn＝1＋4n－12·2n1＋2n－12·n＝4.方法三(直接求解法)由a2nan＝4n－12n－1，得a2n－anan＝2n2n－1，即ndan＝2n2n－1，∴an＝d2n－12，于是，S2nSn＝a1＋a2n2·2na1＋an2·n＝2·a1＋a2na1＋an＝2·d2＋d24n－1d2＋d22n－1＝4.答案：C拓展提升——开阔思路提炼方法由于数列的一般属性在特殊情形下也成立，因此，解答涉及数列的数量关系、相关性质的选择题时，常用特殊数列，如自然数列1,2,3,4，…或1,2,4,8…等进行探索，或者取特殊数值，如n＝1,2,3，公式q＝1等进行检验．5．过抛物线y＝ax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则1p＋1q等于()A．2aB.12aC．4aD.4a解析：取图形的特殊位置．如图，弦的特殊位置是抛物线的通径，抛物线x2＝1ay的焦点为F0，14a.由x2＝1ay，y＝14a，得x2＝14a2，∴x＝±12a，∴得特殊值p＝q＝12a，∴1p＋1q＝4a.答案：C题型四筛选法筛选法是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．筛选法是选择题的常用方法．【例6】已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．[2，＋∞)解析：∵2－ax在[0,1]上是减函数，所以a1，排除答案A、C；若a＝2，由2－ax0得x1,这与x∈[0,1]不符合，排除答案D.所以选B.答案：B拓展提升——开阔思路提炼方法筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选项的范围找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择．它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中约占40%.6.若函数f(x)＝x2＋(2a＋1)|x|＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是()A．a－32或a12B．－32a12C．a－12D．a－12解析：取a＝0，则函数化为f(x)＝x2＋|x|＋1，显然函数是一个偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，则函数只有两个单调区间，不符合题意，故可排除选项B和C；再取a＝1，则函数化为f(x)＝x2＋3|x|＋1，显然函数是一个偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，则函数只有两个单调区间，不符合题意，故可排除选项A.答案：D题型五估值法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此可以猜测、合情推理、估算而获得，这样往往可以