函数、方程、不等式之间的关系

函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。实际上，他们之间的联系非常紧密。如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。★函数与方程之间的关系。先看函数解析式：(0)yaxba，这是一个一次函数，图像是一条直线。对于这个函数而言，x是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。如果令0y，上面的解析式也就变成了0axb，也就是一个一元一次方程了。我们知道，一般在求一个函数图像与x轴交点的时候，令0y（同理求一个函数图像与y轴交点的时候，令0x）。所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y变为0，那么就得到相应的方程。这个方程的解也就是原先的函数图像与x轴交点的横坐标。这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。举例说明如下：例如函数23yx的图像如右所示：该函数与x轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数解析式23yx中，令0y即可。令0y也就意味着将一元一次函数23yx变成了一元一次方程230x，其解和一次函数与x轴的交点的横坐标是相同的。接下来推广到二次函数：例如函数2252yxx的图像如右图所示：很容易验证，该函数图象与x轴的交点的横坐标正是方程22520xx的解。如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得很精准。有时候只需要作出大致图像即可。既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制对应的函数图象呢？函数2252yxx对应的方程是22520xx，先求出这个方程的两个解。很容易根据十字相乘法(21)(2)0xx得出该方程的两个解分别为12和2。这样，根据函数解析式与方程之间的关系，也就得出了函数2252yxx与x轴的两个交点1(,0)2和(2,0)。有了与横坐标两个交点的坐标，还知道了开口方向（二次项前面的系数20，所以开口向上），则该二次函数的大致图像就容易作出了。以上的结论可不可以进一步推广呢？先看接下来这个函数解析式(1)(2)(3)yxxx，如果作这样一个三次函数（三次或三次以上就叫高次函数）的图像，用列表、描点、连线的方法是非常复杂的，甚至无法作出。如果我们采用上面的思想，先求出(1)(2)(3)yxxx对应的方程(1)(2)(3)0xxx的根，很容易得出该方程的三个根：12、、-3。知道了三个根还不行，还必须知道开口方向，由于三次函数和二次函数不同，所以不可能通过三次项系数的正负来确定开口方向。在实际中，我们可以发现这样的规律：如果三次项系数是正数、最右边一个交点的右边部分图像是在x轴上面的。如果三次项系数是负数，最右边一个交点的右边部分图像是在x轴下面的。那么函数(1)(2)(3)yxxx的大致图像如下：函数(1)(2)(3)yxxx的大致图像如下：通过以上函数图象：我们可以总结出作高次函数大致图像的步骤：（1）求出高次函数所对应的方程的根，并在数轴上（不需要建立坐标系）从小到大依次表示出来。（2）如果最高次项的系数是正数，则按照从右到左，从上到下依次穿过。如果最高次数的系数是负数，则按照从右到左，从下到上依次穿过。★函数与不等式之间的关系函数解析式：(0)yaxba中，如果变为0axb（的情况类似）或0axb（的情况类似），那么就是不等式了。实际上，以上两个不等式分别对应一次函数(0)yaxba的图像在x轴上方和x下方的情况。而不等式0axb和0axb的解分别是一次函数(0)yaxba的图像上方部分对应的自变量x的范围和下方部分对应的自变量x的范围。例如不等式230x所对应的是一次函数23yx在x轴上方部分的图像。该不等式的解为23yx在x轴上方部分的图像所对应的自变量x的范围，即32x。在二次函数中，这种不等式和函数的对应关系同样适用。例如：2252yxx的图像如右图所示：不等式22520xx的解为二次函数2252yxx图像上在x轴上方的部分，不等式的解为：12x或2x。同理22520xx的解为122x。这也就是二次不等式“二次项的系数大于零，后面是大于号的取两边（即小于最小根，大于最大根），后面是小于号的取中间（大于最小根，小于最大根）”的性质。对于二次项系数小于零的不等式，可以通过在两边同时乘以-1将二次项系数变为正数。从上面的现象可以得出函数和不等式的关系：不等式()0fx对应的是函数()fx图像上在x轴上方的部分，不等式()0fx的解就是函数()fx图像上在x轴上方的部分所对应的自变量x的取值范围。不等式()0fx对应的是函数()fx图像上在x轴下方的部分，不等式()0fx的解就是函数()fx图像上在x轴下方的部分所对应的自变量x的取值范围。对于多次不等式，例如(1)(2)(3)0xxx，首先在数轴上作出函数(1)(2)(3)yxxx的大致图像（前面已介绍），然后取图像在x轴上方部分对应的x的取值范围。所以不等式(1)(2)(3)0xxx的解为3x或21x。同理也可以解(4)NN次不等式。★一元二次方程和一元二次不等式的关系如果将一元二次方程20(0)axbxca中的“=”改为“＞”或“＜”，则可变为一元二次不等式。解一元二次不等式的步骤：1、二次项为负数的，首先要在两边同时乘以-1将二次项系数变为正数（注意不等式两边同时乘以一个负数后，不等号要变号）。如22520xx要通过两边同乘以-1变为22520xx。2、解出不等式对应的方程的两个根。如解出方程22520xx的两根分别为12,2。3、如果是大于号，解为：x最小根或x最大根。如果是小于号，解为：最小根x最大根。例如22520xx的解为：122x。★一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系在图像上的表示在实际中，我们经常会遇到这样的方程：210xx或这样的不等式：210xx。结果是都是无解。也会遇到210xx，解为全体实数。这就说明一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式在图像上还存在着某种明显的关系。我们分别作出函数2()(0)fxaxbxca的六种可能图像。第一种：当20,40abac时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x轴有两个交点，也就是说方程20axbxc有两个不相等的实数根（设为12,xx，且12xx），20axbxc的解为：12xxx，20axbxc的解为：1xx或2xx。所以可以得出这样的结论：当20,40abac时，方程20axbxc有两个不相等的实数根（设为12,xx，且12xx），20axbxc的解为：12xxx，20axbxc的解为：1xx或2xx。第二种：当20,40abac时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x轴有一个交点，也就是说方程20axbxc有两个相等的实数根（设为12,xx，且12xx），20axbxc的解集为：，20axbxc的解为：1xx或2xx即1xx。所以可以得出这样的结论：当20,40abac时，方程20axbxc有两个相等的实数根（设为12,xx，且12xx），20axbxc的解集为：，20axbxc的解为：1xx或2xx即1xx。第三种：当20,40abac时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x轴没有交点，也就是说方程20axbxc没有实数根，20axbxc的解为：，20axbxc的解为：R。所以可以得出这样的结论：当20,40abac时，方程20axbxc无实数根；20axbxc的解为：，20axbxc的解为：R。第四种：当20,40abac时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x轴有两个交点，也就是说方程20axbxc有两个不相等的实数根（设为12,xx，且12xx），20axbxc的解为：1xx或2xx，20axbxc的解为：12xxx。所以可以得出这样的结论：当20,40abac时，方程20axbxc有两个不相等的实数根（设为12,xx，且12xx），20axbxc的解为：1xx或2xx，20axbxc的解为：12xxx。第五种：当20,40abac时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x轴有一个交点，也就是说方程20axbxc有两个相等的实数根（设为12,xx，且12xx），20axbxc的解集为：1xx或2xx即1xx，20axbxc的解为：。所以可以得出这样的结论：当20,40abac时，方程20axbxc有两个相等的实数根（设为12,xx，且12xx），20axbxc的解集为：1xx或2xx即1xx，20axbxc的解为：。第六种：当20,40abac时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x轴没有交点，也就是说方程20axbxc没有实数根，20axbxc的解为：R，20axbxc的解为：。所以可以得出这样的结论：当20,40abac时，方程20axbxc没有实数根，20axbxc的解为：R，20axbxc的解为：。总结：值得注意的是，如果对于一元二次函数2(0)yaxbxca无论自变量x取什么值，函数值都大于零，那么这就属于上面六种情况中的第三种情况，则有20,40abac；如果对于一元二次函数2(0)yaxbxca无论自变量x取什么值，函数值都小于零，那么这就属于上面六种情况中的第六种情况，则有：20,40abac。▲例题精讲1、已知220axxc的解集为1132xx，试求ac、的值。解析：首先，如果0a，则不等式220axxc的解应该是“两边”，不应该是“中间”，所以必定有0a。这并不影响做题。由题意值：13、12是方程220axxc的两根。根据韦达定理（即根与系数关系，即12bxxa，12cxxa）得：11232a，1132ca。解得：12a，2c。2、设二次函数2()2fxxxa，（1）若存在实数x使得不等式()0fx成立，则实数a的取值范围是多少？（2）若对任意实数x使得不等式()0fx恒成立，则实数a的取值范围是多少？解析：（1）由于二次项系数小于零，所以这个一元二次函数图像开口向下。注意，题中的意思是存在x使得不等式()0fx成立，而不是对任意的实数x均成立，所以，前面的第四种情况符合题意，即要求0，这样就可以求出a的范围。（2）和第（1）小题不一样，这个小题要求恒成立，满足题意的只能是第六种情况，即要求0，这样也就可以求出实数a的取值范围。