人教版七年级下数学第七章-三角形-知识点+考点+典型例题(含答案)

1第七章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。——常用来比较角的大小5.多边形的内角与外角（1）多边形的内角和：（n-2）180°（2）多边形的外交和：360°引申：（1）从n边形的一个顶点出发能作（n-3）条对角线；（2）多边形有2)3(nn条对角线。（3）从n边形的一个顶点出发能将n边形分成（n-2）个三角形；※6．镶嵌（1）同一种正三边形、正四边形、正六边形可以进行平面镶嵌；（2）正三角形与正四边形、正三角形与正六边形……可以进行平面镶嵌；2（1）同一种任意三角形、任意四边形可以进行镶嵌。【典型例题】考点一：三角形的分类例题1：具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）。A：∠A+∠B=∠CB：∠A=∠B=∠CC：∠A=90°-∠BD：∠A-∠B=90例题2：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为()．A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°考点二：三角形三边的关系例题1：已知：如图1，△ABC中，D是AB上除顶点外的一点.，求证：AB+ACDB+DC；变式一：已知：如图3，△ABC中，点P为△ABC内任一点求证：AB+BCPB+PC延长BP与AC交于点D,根据三角形三边的关系：有)1(BDBPADABBDADAB即)2(PCDCPD(1)+(2)-PD得PCPBACAP变式二：如图2，点P为△ABC内任一点，求证：PA+PB+PC21(AB+BC+AC);变式三：如图3，D、E是△ABC内的两点，求证：AB+ACBD+DE+EC.例题2：现有两根木棒，它们的长分别是40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取长为（）A.100cm的木棒B.90cm的木棒C.40cm的木棒D.10cm的木棒练习：PCBA图2EDCBA图3图1ABCD31.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A、3，4，8B、5，6，11C、1，2，3D、5，6，102.一个等腰三角形的两条边长分别为8㎝和3㎝，那么它的周长为19cm.考点三：三角形的中线的性质例题1：将△ABC分成面积相等的四个三角形。例题2：已知：如图，AD、BC、DE是△ABC的三条中线，O为交点。求证：（1）ABCAOESS61(2)1:2:ODAO练习:1.如图5，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且ABCS=42cm，则S阴影等于()A．22cmB.12cmC.122cmD.142cm考点四：三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．练习：1.不是利用三角形稳定性的是()A、自行车的三角形车架B、三角形房架C、照相机的三角架D、矩形门框的斜拉条2.下列图形中具有稳定性的有（）A、正方形B、长方形C、梯形D、直角三角形考点五：三角形的外角与不相邻的内角的关系例题1：如图，已知点P在△ABC内任一点，试说明∠A与∠P的大小关系。例题2：如图4，∠1+∠2+∠3+∠4等于多少度；（）ACBDEFOABC方法一ABC方法二ABC方法三_F_E_D_B_C_APCBA图443214044题图EBDACH练习：1、如图，下列说法错误的是()A、∠B∠ACDB、∠B+∠ACB=180°－∠AC、∠B+∠ACB180°D、∠HEC∠B2、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是(C).A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、无法确定考点六：三角形的内角和、外角和相关的计算与证明例题1：若三角形的三个外角的比为3：4：5，则这个三角形为（）．A．锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形例题2：已知等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为_______.练习：1、如图，若∠AEC=100°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于()A.125°B.115°C.110°D.105°2、如图，∠1=______.3、如图，则∠1=______,∠2=______,∠3=______,4、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是()A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形5、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为(C)A.30°B.60°C.90°D.120°6、已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数(D).A.90°B.110°C.100°D.120°例题2：如图,已知ABC中,ACBABC和的角平分线BD,CE相交于点O.（1）若50ABC，70ACB，则CB0；（2）若48ABC，64ACB，则CB0；（3）若60A,则CB0；（4）请探究的关系与BOCA.变式一：如图，BP平分∠FBC，CP平分∠ECB.（1）若∠A=40°，求∠BPC的度数；（2）若∠A=a，求∠BPC的度数（用含a的代数式表示）.ABCO_3题图_150_50_3_2_1_2题图_140_80_1_1题图_F_E_A_C_B_D5变式二：已知：BD为△ABC的角平分线，CO为△ABC的外角平分线，它与BO的延长线交于点O，试探索∠BOC与∠A的数量关系，并说明理由．引申：如图，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠Q-∠A1的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．（①正确，∠Q+∠A1=180°）变式三：已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）（2）如果图中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．（∠B+∠D=2∠P）例题3：如图甲，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．（1）若∠B=30°，∠C=70°，则∠DAE=°；（2）若∠C﹣∠B=30°，则∠DAE=；（3）若∠C﹣∠B=a（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含a的代数式表示）；（21）（4）如图乙，当∠C＜∠B时我们发现上述结论不成立，但为了使结论的统一与完美，我们不妨规定：角度也有正负，规定顺时针为正，逆时针为负．例如：∠DAE=﹣18°，则∠EAD=18°，作出上述规定后，上述结论还成立吗？_______；若∠DAE=﹣7°，则∠B﹣∠C=6变式一：已知：如图1，△ABC中，∠B＞∠C，AD是△ABC的角平分线，点P是AD上的一点，过点P画PH⊥BC于H（1）求证：∠DPH=（∠B﹣∠C）；（2）如图2，当点P是线段AD的延长线上的点时，过点P画PH⊥BC于H，上述结论任然成立吗？请你作出判断并加以说明．变式二：如图，AE、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，求证：∠1=∠2．由（1）得OBCOCBABCACBEOD)(21OCEOBCEOD9021OCDEODOBE21例题4：如图①，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点．研究（1）：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′与∠A的数量关系是_研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是____研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系，并说明理由．__7变式：研究（4）：将问题1推广，如图，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是__考点五：多边形的内角和与外角和（识记）正n边形34568101215内角和180°360°540°720°1080°1440°1800°2340°外角和360°360°360°360°360°360°360°360°每一个内角n360180180)2(或nn60°90°108°120°135°144°150°158°每一个外角n360180)2(180或nn120°90°72°60°45°36°30°22°例题1：若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（A）A．三角形B．六边形C．五边形D．四边形例题2：下列说法错误的是（A）A．边数越多，多边形的外角和越大B．多边形每增加一条边，内角和就增加180°C．正多边形的每一个外角随着边数的增加而减小D．六边形的每一个内角都是120°例题3：一个多边形内角和与其中一个外角的总和为1360°这个多边形的边数为9.例题4：一个多边形的每一个外角都是24°，则此多边形的内角和（B）A．2160°B．2340°C．2700°D．2880°练习：1．一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为（）A、6B、7C、8D、92．一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是（）A、四边形B、五边形C、六边形D、八边形3．一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加()A.180°B.360°C.(n-2)·180°D.n·1804、若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，则此多边形是()8A、八边形B、十边形C、十二边形D、十四边形5、正方形每个内角都是_90°_____，每个外角都是___90°____。6、多边形的每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有9条。7、正六边形共有___9____条对角线，内角和等于____°______，每一个内角等于_______。8、内角和是1620°的多边形的边数是______。9、如果一个多边形的每一外角都是24°，那么它是______边形。10、将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和___°_