不定积分分部积分法教案

第四章不定积分（§3分部积分法）1第三节分部积分法教学内容：分部积分法教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取vu,，熟练掌握分部积分法的步骤。教学重点：分部积分法及其应用教学难点：在分部积分法中，恰当选取vu,。教学学时：1学时教学进程：我们知道，求不定积分是求微分的逆运算．导数公式不定积分公式；复合函数的求导公式换元积分公式；乘积求导公式分部积分公式（不同类型函数乘积的积分）。1引入用我们已经掌握的方法求不定积分xdxxcos分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。②凑微法失效。xxcos③第二类换元积分法解：不妨设txtxarccoscos则原方程dtttt211arccos更为复杂所以凑微法和第二换元积分法都失效。反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设vu,为两个具有连续导数的函数）已知：'')'(uvvuvu对上式两边积分得：dxuvvdxuCuv''移项得：vdxuuvdxuv''观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：dxuv'中v为导数形式。故，我们可以尝试来解一下上面的积分。Cxxxxdxxxxdxxxxdxxcossinsin'sin')(sincos形式一样先要化的和要求积分的第四章不定积分（§3分部积分法）2通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。2公式设函数)(xuu和)(xvv都具有连续的导数，则有分部积分公式：vdxuuvdxuv''（或vduuvudv）3例题讲解例1．计算不定积分dxxex．解设xu，xev，则1u，xev（*），于是xxxxxedxxdexeedxxxxeeC．注意：（1）（*）处没有加C，这是因为我们取了最简单的情况0C。（2）若设xeu,xdxdv，则dxexexdxxexxx222121，积分dxexx2比积分dxxex要复杂，没有达到预期目的．由此可见，选择vu,非常关键，一般要考虑下列两点：（1）v要易求；（2）积分vdxu要比积分dxvu易计算．练习：求xdxxsin例2．计算不定积分xdxln分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看作xln1即可。解：设xuln，1v，则xu1，xv，于是Cxxxdxxxxxxdxxdxln1lnlnln注意：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。第四章不定积分（§3分部积分法）3例3．计算不定积分xdxxarctan。解设xvxu,arctan；则2221,11xvxu,于是xdxxarctandxxxxx222121arctan21dxxxxx11121arctan21222dxxxx)111(21arctan2122211arctan(arctan)22xxxxC211(1)arctan22xxxC练习：求xdxarcsin。例4.计算不定积分2xxedx．解设2ux，xev，则xu2，xev，于是2222xxxxxedxxdexexedx22[]xxxxexeedx222xxxxexeeC注意：如果要两次分部积分，选取vu,要一致，否则会还原．例5．计算不定积分xdxexsin．解：xdxexexexdxexexdexdxexxxxxxxsincossincossinsinsin好像进入了死胡同，实则不然，令Ixdxexsin,则上式变为：)2(,)cossin(21cossin2cossin11CCCxexeICxexeIIxexeIxxxxxx其中则练习：求xdxexcos。第四章不定积分（§3分部积分法）4从这几个典型例题可以看到，一般情况下，vu,可按下列规律选择：（1）形如,sinkxdxxn,coskxdxxn，dxexkxn（其中n为正整数）的不定积分，令nxu，余下的凑成v。（2）形如xdxxnln，xdxxnarcsin，xdxxnarctan时，令nxv，余下的凑成u。（3）形如bxdxebxdxeaxaxcos,sin的不定积分，可以任意选择u与v，但由于要使用两次分部积分公式，两次选择u与v应保持一致，只有这样才能出现循环公式并求出积分。说明（1）用分部积分法的情况不止于此，总的原则是适当选取u及v，使vu更加便于积分．（2）一般被积函数是不同类函数函数乘积时，往往想到用分部积分法．例6．求dxexIxnn的递推公式，其中n为正整数，并求出321,,III。解：111nxnxnxnxnxnxnnnIexdxexnexdxenxexdxexI因此可得dxexIxnn的递推公式为),3,2,1(,1nnIexInxnn其中CedxeIxx0，那么有101CexeIxeIxxx22122222CexeexIexIxxxx3232336633CexeexexIexIxxxxx例7．计算不定积分dxex．解dxexdttetdtetttx222ttde)(2dtetettcetett2222xxxeeC4小结1、分部积分公式2、在分部积分的公式中，vu,的选取。3、结合其他的积分方法灵活的使用公式。作业：习题4－3（132P）1、4、5、7、8、9、10