定积分教案

第五章定积分及其应用知识点：定积分的定义定积分的概念与性质定积分的几何意义定积分的性质变上限积分函数微积分基本公式牛顿-莱布尼兹公式定积分换元积分法换元积分法与分部积分法定积分分部积分法积分区间为无穷区间的广义积分广义积分被积函数为无界函数的广义积分定积分在几何上的应用定积分的应用定积分在经济上的应用教学目的要求：（1）理解与掌握定积分的概念与性质；了解变上限积分函数的概念，能求变限积分函数的导数。（2）掌握牛顿－莱布尼兹公式，并能熟练利用牛顿－莱布尼兹公式计算简单的定积分；掌握定积分的换元积分法与分部积分法，并能熟练地进行定积分的计算。（3）了解无穷限积分的概念，能进行简单的无限积分的计算。（4）掌握定积分的几何意义，同时能利用定积分解决一些简单的应用问题。教学重点：1．定积分的概念与几何意义2．牛顿－莱布尼兹公式及应用3．定积分的计算方法教学难点：1．定积分的概念及性质2．换元积分法与分部积分法3．无穷限积分的概念及计算4．利用定积分解决实际应用问题第一节定积分的概念与性质【教学内容】定积分的定义，定积分的几何意义，定积分的简单性质。【教学目的】理解定积分的概念，了解如何根据定义计算定积分；理解定积分的概念，会用定积分求曲边梯形的面积；掌握定积分的性质，会比较定积分的大小。【教学重点】1．定积分的定义；2．利用定积分计算曲边梯形的面积；3．定积分的性质。【教学难点】1．定积分的概念；2．定积分的性质。【教学时数】3学时【教学进程】一、两个实例1．曲边梯形的面积提问：在生产实际中，常常需要计算各种图形的面积，对于矩形、三角形、圆等规则图形的面积，我们在初等数学中已学过．然而在实际问题中常常会碰到由一条曲线围成的平面图形的面积，如何计算图5–1中的阴影部分的面积？(1)曲边梯形：由连续曲线)0)(()(xfxfy与三条直线xa,xb,0y所围成的平面图形（如图5–2所示）．提问：如何计算曲边梯形的面积？(2)计算曲边梯形面积的基本思想：①将原曲边梯形划分成若干个小区间，考虑每个小区间上小曲边梯形的面积．如果分得足够细，则每个小曲边梯形的面积近似地等于一个小矩形的面积。②把所有这些小矩形的面积加起来，就得到大曲边梯形面积的近似值。③当分割无限细密，并使得每一个小区间的长度都趋于零时，得到的近似值就无限接近于曲边梯形的面积A，因此，其极限就可定义为该曲边梯形的面积A。具体步骤表述如下：（1）分割．用分点bxxxxxxxannii11210把区间],[ba分成n个小区间15图Oxy],[10xx，],[21xx，…，],[1iixx，…，],[1nnxx第i个小区间的长度记为),,2,1(nixi，即),,2,1(1nixxxiii过每个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图5–3所示)．第i个小曲边梯形的面积记为),,2,1(niAi，则niiAA1（2）近似代替．在第i个小区间),,2,1](,[1nixxii上任取一点)(1iiiixx，用以ix为宽，)(if为高的小矩形的面积iixf)(近似代替相应的小曲边梯形的面积iA，即),,2,1()(nixfAiii提问：为什么能在小区间上任取一点？（3）求和．将每个小矩形的面积相加，所得的和就是整个曲边梯形面积的近似值，即niiiniixfAA11)(（4）取极限．当这些小区间长度的最大值nxxx,,,max21趋向于零时，和式niiixf1)(的极限就是曲边梯形的面积，即niiixfA10)(lim上式表明，曲边梯形的面积就是一个和式的极限．)(xfyOxy0xabxn1x2x1ixixi35图提问：为什么要使小区间长度的最大值趋向零？2．变速直线运动的路程提问：如何计算变速直线运动的物体所走的路程，能否用匀速直线运动“路程＝速度时间”计算？已知速度)(tvv是时间t的连续函数，且0)(tv，采用求曲边梯形面积的类似方法计算从时刻at到时刻bt物体所经过的路程s．计算物体作变速直线运动所经过路程的基本思想：①将总时间区间划分成若干个小区间，考虑每个小区间内物体作匀速直线运动的路程．如果分得足够细，则每个小区间内物体作匀速直线运动的路程近似地等于物体作变速直线运动的路程。②把所有匀速直线运动的路程加起来，就得到变速直线运动的路程的近似值。③当分割无限细密，并使得每一个小区间的长度都趋于零时，得到的近似值就无限接近于变速直线运动的路程，因此，其极限就可定义为变速直线运动的路程s。具体步骤表述如下：（1）分割．用分点btttttttannii11210把时间区间],[ba分成n个小区间],[10tt，],[21tt，…，],[1iitt，…，],[1nntt第i个小区间的长度记作),,2,1(1nittti-ii物体在第i个小区间],[1iitt内所走的路程记作),,2,1(nisi，则niiss1（2）近似代替．在第i个小区间],[1iitt上任取一点i，在很短的时间间隔内，速度的变化是微小的，可以将),,2,1(],[1nittii内的变速直线运动近似地看作速度为)(iv的匀速直线运动，得到路程is的近似值，即),,2,1()(nitvsiii（3）求和．把n个小区间内的路程相加，得到整个区间上的路程s的近似值，即niiiniitvss11)(（4）取极限．当这些小区间长度的最大值nttt,,,max21趋向于零时，和式niiitv1)(的极限就是物体所走的路程，即niiitvs10)(lim上式表明，变速直线运动的路程也是一个和式的极限．思考：已知边际成本函数，产量由a增到b时总成本为多少？二、定积分的定义提问：上面两个实例解决问题的思想方法与步骤是否相同，最终结果有什么特点？我们把这类求和式的极限的问题从具体问题中抽象出来进行研究，从而引进了定积分的概念．定义5．1设函数)(xf在区间],[ba上有定义，在],[ba中插入1n个分点bxxxxxxxannii11210把区间],[ba分成n个小区间],[10xx，],[21xx，…，],[1iixx，…，],[1nnxx每个小区间的长度依次为1iiixxx（ni,,2,1）在每个小区间],[1iixx上任取一点)(1iiiixx，作函数值)(if与小区间长度ix的乘积),,2,1()(nixfii，并作和式（称为积分和式）niiixf1)(记nxxx,,,max21，如果当0时，和式的极限niiixf10)(lim存在，则称这个极限值为函数)(xf在],[ba上的定积分（简称积分），记作badxxf)(，即niiibaxfdxxf10)(lim)(其中叫做积分号，)(xf叫做被积函数，dxxf)(叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，],[ba叫做积分区间．强调定积分符号必须正确书写。如果函数)(xf在],[ba上的定积分存在，我们就称函数)(xf在],[ba上可积，否则称函数)(xf在],[ba上不可积．提问：什么样的函数是可积的？定理5.1闭区间],[ba上的连续函数)(xf必可积．了解定理5.1，在此不讨论。由定积分的定义，前面的两个实例可分别表述如下：（1）由连续曲线)0)(()(xfxfy与直线0,,ybxax所围成的曲边梯形的面积等于函数)(xf在],[ba上的定积分，即badxxfA)(（2）变速直线运动的物体所走的路程等于其速度)0)(()(tvtvv在时间区间],[ba上的定积分，即badttvs)(说明：①提问：定积分badxxf)(的值与区间],[ba的分法以及点i的取法是否有关？（无关）②提问：因为定积分badxxf)(是一个和式的极限，所以它是一个确定的数值，它与哪些因素有关，与积分变量用什么字母是否有关？(与被积函数)(xf和积分区间],[ba有关，而与积分变量用什么字母表示无关)，即有badxxf)(＝babaduufdttf)()(③在定积分的定义中，我们假定ba，即积分下限小于积分上限．如果ba，我们规定abbadxxfdxxf)()(即，定积分上下限互换时，积分值仅改变符号；当ba时，规定0)(aadxxf例1根据定积分的定义，证明abdxba1．证明被积函数1)(xf是常数，由定积分的定义，得niiniiibaxxfdx10101lim)(lim1abab)(lim0为方便起见，我们可把积分badx1简记为badx，即abdxba．例2根据定积分的定义计算102dxx．解因为积分值与区间]1,0[的分法及点i的取法无关．为了便于计算，我们把区间]1,0[n等分，分点为)1,,2,1(ninixi这时，每个小区间的长度),,2,1(1ninxi．选取每个小区间的右端点为i，即n,1,2,inii于是，积分和式为nininiiiniiiinnnixxf1231212111)()12)(11(611216113nnnnnn因为nnnn11,,1,1max，所以当0时，n．于是102dxx=niiixf10)(lim=31)12)(11(61limnnn三、定积分的几何意义由前面的讨论知，我们可以得到以下的几何解释．（1）当0)(xf时，定积分badxxf)(在几何上表示由曲线)(xfy与直线0,,ybxax所围成的曲边梯形的面积；提问：当0)(xf时，如何计算曲边梯形的面积？（2）如果在],[ba上0)(xf，则0)(xf，因此由曲线)(xfy与直线0,,ybxax所围成的曲边梯形的面积为baniiiniiidxxfxfxfA)()(lim)(lim1010因此Adxxfba)(这就是说，当0)(xf时，定积分badxxf)(在几何上表示曲边梯形面积的负值（如图5–4所示）；提问：如果)(xf在],[ba上有时取正值，有时取负值，如何计算曲边梯形的面积？（3）如果)(xf在],[ba上有时取正值，有时取负值（如图5–5所示），则有321)(AAAdxxfba比较：总面积123()()()cdbacdSAAAfxdxfxdxfxdx因此，在一般情形下，定积分badxxf)(的几何意义是：它表示由曲线)(xfy与直线0,,ybxax所围成的曲边梯形各部分面积的代数和．例3用定积分表示图5–6中各图形阴影部分的面积，并根据定积分的几何意义求出定积分的值．AA1A2A3OOxxyyabbacd)(xfy)(xfy45图55图解（１）在图5–6（1）中，被积函数xxf)(在区间]2,0[上连续，且0)(xf，根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为2222120xdxA所以220xdx（2）在图5–6（2）中，被积函数xxf1)(在区间]4,2[上连续，且0)(xf，根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为42)31(21)1(42dxxA所以4)1(42dxx（3）在图5–6（3）中，被积函数21)(xxf在区间]1,1[上连续，且0)(xf，根据定积分的几何意义，图中阴影部