微积分-第章-中值定理与导数的应用

1罗尔中值定理则①在闭区间[a,b]上连续;②在开区间(a,b)上可导;③f(a)=f(b).若f(x)满足：(,),()0.abf一、罗尔中值定理几何意义AB1xyOab2注：1.定理的条件：三个缺一不可.2.定理的应用：导函数零点(根)的存在问题.Oxy11Oxy11-1Oxy11例1例2Rolle,(法)1652-17192例1.验证f(x)x22x3在[-1,3]上满足罗尔定理条件，找出满足f()=0的.注意到f(x)(x1)(x3),在[-1,3]上显然连续;f(x)2x22(x1)在(-1,3)上显然可导；f(1)f(3)0存在1(1,3)使f(1)0解故f(x)满足罗尔定理的条件其中a1b3返回罗尔定理肯定了的存在性,一般没必要知道究竟等于什么数,只要知道存在即可.3例2不求导判断函数f(x)(x1)(x2)(x3)的导数有几个实根、及其所在范围解而f(x)是二次多项式仅有上述两个根f(1)f(2)f(3)0∴f(x)在[1,2][2,3]上满足罗尔定理条件∵f(x)在R上连续、可导且11(1,2),()0,f22(2,3),()0.f根据罗尔定理，有：罗尔定理是其他微分中值定理的基础，该定理对判别方程根的存在性特别有效.罗尔定理是由法国数学家罗尔（1652-1719）在1691年首先提出来的，直到1846年由法国的数学家尤斯托.伯拉维提斯完善成今天的形式.4.)(mMb若),(afM设,),(内至少存在一点则在ba.)(Mf.)(mMa若.],[)(mMbaxf和最小值有最大值在.)(Mxf则.0)(xf得),,(ba)(f都有.0所以最值不可能同时在端点取得.使],,[bax有()().fxf证对于(),xU有()()fxf0()()fxf,0x若()()fxfx;0,0x若;0()()fxfx由极限的保号性0limx()f()f0limx()f.0()0f5)(xfyxyOABbaC12D6拉格朗日中值定理则使得()()().fbfafba①在闭区间[a,b]上连续;②在开区间(a,b)上可导.若f(x)满足：(,),ab二、拉格朗日中值定理几何意义abxoy)(xfyAB12注：2.拉格朗日公式的等价形式：()()(())(),01;fbfafababa()()(),01.fahfafahh拉格朗日公式1.拉氏定理是罗尔定理的推广.()()()(),;fbfafbaabLagrange(法)1736-18137分析()()()()fbfafba,0)()()(abafbff定理的结论就转化为函数,),(内有点在区间ba()0利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数.()()()(),fbfaxfxxba将变为使的问题.微分中值定理拉格朗日中值定理8过街天桥上的微分中值定理北京的珠市口天桥三个公式：万有引力定律、质能公式、拉格朗日中值公式微分中值定理讲的是这么一个故事摘自“过路人的空间”在一个遥远的曲线的世界，所有的一切都是一条条漂亮的紫色曲线。每条曲线的起止点a、b之间连接着一条漂亮的橙色直线。微分中值定理告诉我们：在每条紫色曲线上都有一个神奇的点，从它那里做出的绿色切线，与橙色的ab连线平行。ba9它表明了函数在两点处的函数值)()()()(fabafbf的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有极重要的地位.与导数间的关系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数10)(11arctanarctan12212xxxx(x1,x2)证例3证明不等式arctanx2arctanx1x2x1(x1x2)设f(x)arctanx因为1112所以arctanx2arctanx1x2x1在[x1,x2]上应用拉格朗日定理，有如果f(x)在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理.11例4.)1ln(1,0xxxxx时证明当证()ln(1),ftt()[0,]ftx在上),0)(()0()(xffxf1(0)0,(),1fftt由上式得,1)1ln(xxx111,11111x,11xxxx.)1ln(1xxxx即设],0[x)0(x由x0关键满足拉格朗日中值定理的条件,证明函数不等式的惯用手段！12()(),fxgxxI推论2设f和g在区间I上可导，且,则()()fxgxc.在区间I上f(x)和g(x)只差一个常数，即是I上的常值函数.推论1设f(x)在区间I上可导，且,则f(x)()0,fxxI例5.2arcsinarccos(11).xxx证明：证明函数恒等式的惯用手段！13()()XgxYfxdY()dX()fxgx注意AB的斜率切线斜率XYO()g()gb)(bf()ga)(af()()fg()()()()fbfagbga14柯西中值定理①在闭区间[a,b]上连续;②在开区间(a,b)上可导;若函数f和g满足：③g’(x)≠0,x∈(a,b).()()().()()()ffbfaggbga则使(,),ab三、柯西中值定理几何意义))(,)((fgPOuv))(,)((bfbgB((),())Agafa注：几何意义：考虑参变量方程v=f(x)u=g(x)例6.设函数f在区间[a,b](a0)上连续,在(a,b)上可导，.ln)()()(abfafbf则存在∈(a,b),使Cauchy(法)1789-185915前面对拉格朗日中值定理的证明,构造了()()()()fbfaxfxxba现在对两个给定的函数f(x)、g(x),构造)()(xfx即可证明柯西定理.辅助函数辅助函数()gx)()(afbf()()gbga()()()()()()fbfafgbgag),(ba()()()[g()()]()ffbfabgag分析上式写成()gxx用类比法),(),()()()(bafabafbf16拉格朗日中值定理柯西中值定理()gxx)()(bfaf罗尔定理、拉格朗日定理及柯西中值定理之间的关系；f()=0.()()().fbfafba()()().()()()ffbfaggbga罗尔定理问题：证明存在∈(a,b),使得H(a,b,)=0化为求根问题将a,b与分离，找匹配形式17与题设矛盾！例7*.设p(x)是一个多项式,且方程p'(x)=0没有实根，证:则方程p(x)=0至多有一个实根，且这个根的重数为1.1)设p(x)有两个实根x1,x2，且x1x2.多项式函数p(x)显然在[x1,x2]上满足罗尔定理的条件，故存在∈(x1,x2)使得p()=0.10101()()()()(),kkpxkxxpxxxpx与题设矛盾！01()()().kpxxxpx2)又设p(x)有一个k(k≥2)次重根x0.则故0()0,px所以18§4.2洛必达法则一、0/0型未定式二、∞/∞型未定式三、其他未定式L’Hospital法国数学家(1661-1705)19则00()()()()limlim.xxxxfxfxgxgxA注：1.此法可推广到其他各类0/0型函数极限.①00lim()lim)0(；xxxxfxgx③0()()lim.xxfxgxA②f和g在某Uo(x0)内都可导且；()0gx若（A也可以是∞,±∞）一、0/0型未定式极限2.此法可以与等价代换、换元法等方法结合使用.3.只要满足条件，可以反复、多次运用此法.洛必达法则20例1.计算下列0/0型未定式极限：0(1)12)lim;axxx42161)lim;2xxx2013)lim.xxexx30sin4)lim;xxxxsin3015)lim;arcsinxxxexa321161220(12)7)lim;ln(1)xxexx21cos6)lim;tanxxx1611221注：1.此法可推广到其他各类∞/∞型函数极限.二、∞/∞型未定式极限2.此法可与等价代换、换元法等方法结合使用.3.只要满足条件，可以反复、多次运用此法.则00()()()()limlim.xxxxfxfxgxgxA①00lim()lim()；xxxxfxgx③0()()lim.xxfxgxA②f和g在某Uo(x0)内都可导且；()0gx若（A也可以是∞,±∞）洛必达法则22例2.计算下列∞/∞型未定式极限：32)lim.xxexln1)lim;xxx0注：洛必达法则并非万能公式,应验证条件！22arctan121)limlim;114arctan2xxxxxx00[]2)limlim;sincosxxxxxxsin1cos3)limlim.1xxxxxx23三、其他未定式①型：0②型：1,00,0③型：例4.求0limln.xxx求例5.1110lim,lim.xxxxxx0lnlim01xxx11,e11,22化为0/0型或∞/∞型整理成1/0-1/0,经通分化为0/0型④数列形式未定式：()()vxux()ln()vxuxe化为e0·∞型()改求函数极限求例6.111lim,1lnxxx21limln(1).xxxx24例7.(),0(),0,0gxxxfxx设(0)(0)0,(0)3,ggg且解:00()lim()limxxgxfxx(0)0,g()0.fxx所以在处连续0()lim2xgxx0()(0)(0)lim0xfxffx1(0)2g0()(0)lim0xgxgx0()limxfxx20()limxgxx(根据洛必达法则)01()(0)lim20xgxgx①②3.2(根据二阶导定义)()0.fxx讨论在点的连续性、可导性25§4.3函数的增减性回顾：判断函数的单调性方法——定义法是否有其它（更简便的）办法判断函数的单调性？问题：260)(xf0)(xf定理,],[)(上连续在设函数baxfy.),(内可导在ba，内如果在0)(),()2(xfba)(xfy那末函数上在],[ba)(xfy那末函数上在],[ba单调增加;单调减少.一、单调性的判别法xyOabAB)(xfyxyO)(xfyabAB，内如果在0)(),()1(xfba27证],,[,21baxx,21xx且拉格朗日中值定理))(()()(1212xxfxfxf内，若在),(ba,0)(f则),()(12xfxf;],[)(上单调增加在baxfy内，若在),(ba,0)(f则),()(12xfxf.],[)(上单调减少在baxfy)(21xx,0)(xf,0)(xf(1)(2)此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确.注28例解.1的单调性讨论函数xeyx.1xey,)0,(内在,0y单调减少；