数值分析(研究生)第一章绪论

武汉理工大学数学系数值计算教材《数值分析》陈晓江、黄樟灿主编科学出版社2010年1月参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社《工程数值方法》（第5版）StevenC.Chapara清华大学出版社第一章绪论第一节数值分析研究对象与特点第二节数值计算的误差第三节误差分析上页下页返回§1数值分析研究对象与特点一、研究对象数值分析也称计算方法.它根椐实际问题的数学模型提出求解问题的数值计算方法及其理论.二、内容既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.三、特色函数的数值逼近；数值微分与数值积分；非线性方程数值解；数值线代数；常微分方程数值解等.上页下页返回四、学科特点算法能在计算机上实现，并有好的计算复杂性；面向计算机，提供切实可行的有效算法；有可靠理论，对算法进行误差分析，并能达到精度要求；通过数值实验证明算法行之有效.离散化；递推化；近似替代.五、常用方法例解一个n阶的线性方程组，若用Cramer法则，需进行n!(n2-1)次乘法.n=20时，需进行9.7×1020次乘法.用一个每秒有一千万次浮点运算的计算机来算，需算近30万年.利用MATLAB等软件在计算机上实现数值计算，解决实际问题.六、实际应用上页下页返回•提问：数值分析是做什么用的？数学建模构造算法程序设计上机计算求出结果实际问题上页下页返回§2数值计算的误差分析一.来源与分类从实际问题中抽象出数学模型——模型误差通过测量得到模型中参数的值——观测误差求近似解——方法误差(截断误差)机器字长有限——舍入误差上页下页返回dxex102近似计算:例大家一起猜？dxe2x1011/e解法之一：将作Taylor展开后再积分2xe91!4171!3151!21311)!4!3!21(10864210dxxxxxdxe2xS4R4,104Sdxe2x取则111!5191!414R称为截断误差005091!414.R这里7430024010333014211013114....S0010200050..|舍入误差|006000100050102...dxe-x的总体误差计算=0.747……由截去部分引起由留下部分引起上页下页返回二.传播与积累（误差分析的重要性）例：蝴蝶效应——武汉的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的上海就刮起台风来了？！WHSH以上是一个病态问题.关于本身是病态的问题，我们还是留给数学家去头痛吧！上页下页返回......210110,,,n,dxexeIxnn例：计算11nnInI公式一：注意此公式精确成立632120560111100.edxeeIx记为*0I80001050.IIE则初始误差111111110010nI)e(ndxexeIdxexennnn391414231519594249414122764807131632896000121030592000111088128000101............367879440111415*13*14*12*13*11*12*10*11*9*10*0*1.II.II.II.II.II.II.II????!!!发生了什麽?!上页下页返回考察第n步的误差nE|)1()1(|||||*11*nnnnnnInIIIE||!01En||Enn我们有责任改变.造成这种情况的是不稳定的算法,迅速积累，误差呈递增走势.可见初始的小扰动801050||.E)1(1111nnnnInIInI公式二：注意此公式与公式一在理论上等价.方法：先估计一个IN,再反推要求的In(nN).11)1(1NINeNNNINNeI11)1(121*可取0*NNNIIEN,时当上页下页返回632120560)1(11367879440)1(210838771150)1(1110773517320)1(1210717792140)1(1310668702200)1(1410638169180)1(151042746233016116121*1*0*2*1*11*10*12*11*13*12*14*13*15*14*15.II.II.II.II.II.II.II.eI取我们很幸运！上页下页返回考察反推一步的误差：||1)1(1)1(1||*1NNNNENININE以此类推，对nN有：||)1(...)1(1||NnEnNNE误差逐步递减,这样的算法称为稳定的算法.在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性会是一个非常重要的话题.上页下页返回三、误差与误差限绝对误差xxe**其中x为精确值，x*为x的近似值.||*e*ε10006074302..dxex**εxx，例如：工程上常记为，称为绝对误差限，的上限记为注：e*理论上讲是唯一确定的，可能取正，也可能取负.e*0时，x*称为强近似值，e*0时，x*称为弱近似值e0不唯一，当然e越小越具有参考价值.上页下页返回四、相对误差与相对误差限||***xεεrx的相对误差上限定义为.注：从的定义可见，实际上被偷换成了，而后才考察其上限。那么这样的偷换是否合法？严格的说法是，与是否反映了同一数量级的误差？关于此问题的详细讨论可见教材p7.*re*rexe***xexeer**x的相对误差定义为.xe*上页下页返回五、有效数字若近似值x*的误差限是某一位的半个单位,该位到x*的第一位非零数字共有n位，就说x*有n位有效数字.用科学计数法，记（其中）.若（即的截取按四舍五入规则），则有n位有效数字，精确到.mnaa.ax10021*01anm.xx1050||*x*xnm10.1415.3*;8979321415926535.3例：问：有几位有效数字？请证明你的结论.*上页下页返回43注：0.2300有4位有效数字，而0.0023只有2位有效数字.12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字.数字末尾的0不可随意省去！*上页下页返回1、用四舍五入法取准确值的前n位作为近似值，则x*必有n位有效数字；2、有效数字位数相同的两个近似数，绝对误差限不一定相同；3、将任何数乘以10m(m为整数)，等于移动该数的小数点，并不影响它的有效数字的位数；4、准确值被认为具有无穷位有效数字.注：关于有效数字有以下几点说明上页下页返回六、有效数字与相对误差的关系有效数字相对误差限11121102102101001050*nnmnnmra.aaa.a.x*ε*ε已知x*有n位有效数字，则其相对误差限为相对误差限有效数字nmmnmnr.aaa.aaxεxx105010)1()1(210100)1(210|*|*|*|111121111110)1(21*nraε已知x*的相对误差限可写为则可见x*至少有n位有效数字.上页下页返回例为使的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？*π解假设*取到n位有效数字，则其相对误差上限为111021*nraε要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足%001.01021*11nraε已知a1=3，则从以上不等式可解得n6log6，即n6，应取*=3.14159.上页下页返回限分别为乘、除运算得到的误差则它们进行加、减、和的误差限分别为与设近似数),()(*2*1*2*1xxxxee)0()()()()()()()()()(*22*2*1*2*2*1*2*1*1*2*2*1*2*1*2*1*2*1xxxxxxxxxxxxxxxxxxeeeeeeeee；；1、代数运算的误差估计§3误差估计上页下页返回)()()()!1(1)()()()(!1)()(][)(1)1(0)()1(baaxfnxRbxaxRaxfkxfxfbxanbaxfnnnnnkkkn式中，则时有有限导数阶的连续导数，当上有定义，且有一直到，在闭区间若函数附：泰勒公式2、函数值的误差估计当自变量有误差时计算函数值也会产生误差，其误差限可利用函数的泰勒展开式进行估计.)()())(()()(2)()()()()()()(2)())(()()(*****2****2****xxfxfxxfxxfxfxfxxxxfxxxfxfxfeeeee数的误差限的高阶项，可得计算函忽略之间与介于上页下页返回为的误差值，于是函数的近似值为，则似值为的近，而为多元函数时，若当)(),,(,,,,),,(****2*1***2*12121AeAxxxfAAxxxxxxxxxfAfnnnn**1*******1****11***11**1**)()()()()(),,(),,(),,()(AxxfAAAAxxfAexfxxxxxfxxfxxfAAAeknkkrrknkkknkknkkkknnneeeeee的相对误差限为而；于是误差限上页下页返回位有效数值？能有几的近似值，则，作为，如果用，，设例uyxffuyxxyyxf~)()871.030.1(~.0005.0871.0005.030.1cos),(4.)871.030.1(~005.00022.00005.030.1871.0sin005.030.1871.0cos)~(sincos49543.030.1871.0cos)871.030.1(~22能有二位有效数字，所以而，由于，解：fuuxyyfxyxffue上页下页返回§4几点注意事项1.避免相近二数相减例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效数字.而a2a1=0.00001，只剩下1位有效数字.几种经验性避免方法：;xεxεxεx;1lnlnlnxεxεx当|x|1时：;2sin2cos12xx...6121112xxxex上页下页返回2.避免小分母:分母小会造成舍入误差增大3.避免大数吃小数例：用单精度计算的根.010)110(992xx精确解为110291x,x算法1：利用求根公式aacbbx242在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101.做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加.即1的指数部分须变为1010，则：1=0.00000000011010，取单精度时就成为：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大数吃小数024,102422921aacbbxaacbbx上页下页返回算法2：先解出再利用9211024)(aacbbsignbx11010991221xacxacxx注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小.例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1+2+3+…+40+1094.先化简再计算，减少步骤，避免误差积累.一般来说，计算机处理下列运算的速度为exp,,5.