北京大学量子力学课件-第12讲

第十二讲Ⅰ.算符的对易性一般而言，两算符的乘积和次序有关，不能彼此对易。若,，/Lˆ2iyeAˆ/Lˆ2izeBˆ则算符引入对易子：和的对易子对易子有如下性质Bˆ,AˆAˆAˆBˆBˆAˆBˆ,Aˆ]Aˆ,Bˆ[]Bˆ,Aˆ[Cˆ]Bˆ,Aˆ[]Cˆ,Aˆ[Bˆ]CˆBˆ,Aˆ[Bˆ]Cˆ,Aˆ[]Cˆ,Bˆ[Aˆ]Cˆ,BˆAˆ[BˆAˆBˆBˆAˆ并有在算符的运算时，要特别小心。已证明所以]Bˆ,Aˆ[21BˆAˆBˆAˆeeei21pˆxpˆxxxeee1n0S1snsnBˆ]Bˆ,Aˆ[Bˆ]Bˆ,Aˆ[下面是一些有用的对易关系称为Levi-Civita符号。取值，为从123→ijk的对换数。如123→312的对换数2kijkjixi]x,Lˆ[kijkjipˆi]pˆ,Lˆ[kijkjiLˆi]Lˆ,Lˆ[ijkijk)1(ijk◎对易关系是与坐标选择无关◎对易关系与表象选择无关]r,Lˆ[z0]r,i[]pˆ,x[nx]p,pi[nxx1nxpˆniⅡ.算符的厄密性（Hermiticity）（1）算符复共轭：若对波函数（任意）有则称为的复共轭算符，以表示Aˆ**BˆBˆAˆ*Aˆx*xpˆpˆ***BˆAˆ)BˆAˆ(Aˆ)Aˆ(**（2）算符的转置A.标积定义：若体系有两个波函数，其标积为对于标积，有性质☆rd),(*0rd),(2***,,,☆☆☆则称这两波函数正交。B.转置定义：算符称为算符的转置算符),(),(),(2*21*122110rd),(*),(),(),(22112211BˆAˆrdBˆrdAˆ**通常以算符表示算符的转置算符。即(3)算符的厄密共轭定义：算符的厄密共轭是该算符取复共轭，再转置，（以表示），)Bˆ,()Aˆ,(**A~ˆAˆ)A~ˆ,()Aˆ,(**xx~Aˆ),Aˆ()Aˆ,(x)x()x(*Aˆ)Aˆ(AˆBˆ)BˆAˆ(xxpˆpˆxˆxˆiiLˆLˆ*A~ˆAˆ(4)厄密算符:若算符的厄密共轭就是它自身，则称该算符为厄密算符。(5)厄密算符的性质A.厄密算符相加、减仍是厄密算符；但厄密算符之积并不一定为厄密算符。*)Aˆ,(),Aˆ()Aˆ,(AˆBˆAˆBˆ)BˆAˆ(B.任何状态下，厄密算符的平均值必为实数C.在任何状态下，平均值为实的线性算符必为厄密算符。易证：若是厄密算符，则。),Aˆ()Aˆ,()Aˆ,(**)Aˆ,(),Aˆ()Aˆ,(Aˆ0Aˆ2Ⅲ.厄密算符的本征值和本征函数(1)算符的本征方程对有一定几率分布（围绕最大几率测量值）的状态，进行一次测量，其偏差大小可由一“涨落”来定义，即由方均根来定义。要使“涨落”为零，即测量值只取确定值，则))AˆAˆ(,()Aˆ,(AˆA222令这一特殊状态为我们称上述方程为算符的本征方程。显然，仅当体系处于本征函数所描述的状态时，测量值即为本征值（这时“涨落”为0）。量子力学又一个基本假设：在量子力学中，力学量对应于一个线性厄密算符；当对体nnnuAuAˆnu0)AˆAˆ(系进行该力学量的测量时，一切可能测得值，只能是算符的本征方程的本征值。例1：求轨道角动量在z方向分量的本征值和本征函数。有解)(l)(LˆzZ/ilzAe)(mlz2,1,0miLˆZAˆ从是厄密算符得不出上述结论。例2求绕固定轴转子的能量本征值和本征函数。,3,2,1,0,25,23,21lzEuudd2EuuHˆ222ZLˆ固定转子的能量本征值和本征函数为m2E222,3,2,1,0m22mm2Eimme21u212)/E2(iAeu（2）力学量算符的本征值和本征函数性质A.力学量的每一可取值都是实数（即本征值）；B.相应不同本征值的本征函数是正交的证：0)u,u(mnnnnuAuAˆmmmuAuAˆ取复共轭，则有)u,u(A)uAˆ,u(mnmmn)u,u(A)uAˆ,u(nmnnm)u,u(A)u,uAˆ(mnnmn)u,u)(AA()u,uAˆ()uAˆ,u(mnnmmnmn由于是厄密算符，所以，即正交。这就使波函数对某力学量的本征函数展开时，是唯一的。C.Schmit正交化方法如果一个本征值An对应S个线性无关的本征函数，这组本征函数并不一定正交，我们可以通Aˆ)u,u)(AA(0mnnm0)u,u(mnmnu,u过Schmit正交化方法来实现正交归一化。取使；取，显然，保证，且。同样有这必然有，且)(n)(nc111111),()(n)(n)],([c)(n)(n)(n)(n)(n211222)],(),([c)(n)(n)(n)(n)(n)(n)(n)(n322311333021),()(n)(n122),()(n)(n03231),(),()(n)(n)(n)(n133),()(n)(nD.任何一个算符总可表示为两个厄密算符之和；其中(3)测量结果的几率现来计算测量力学量取值的几率。根据态叠加原理，如能测得，则体系所处的态必为AˆiAˆAˆ)AˆAˆ(21Aˆ)AˆAˆ(2iAˆAˆnA332211ccc32,1A,AA所以表达式表明，在中测量力学量取值的几率为。所以，要在一体系中（以描述），测量力学量，取值的几率振幅为rdAˆAˆ*nn2nAcnA2ncnAAˆAˆnnAAˆ(4)直接可观测的力学量的本征函数构成一完备组。如是力学量的本征函数组，则任一波函数可以以表示根据态叠加原理，体系处于态中，那进2121nnnn),(),(),(cnAˆnnnnc行力学量的测量。如测量值为，则体系只可能处于这些本征值所相应的本征函数的线性叠加态上。即§4.3连续谱本征函数“归一化”（1）连续谱本征函数“归一化”A.本征函数，本征谱（取分立值）（取连续值）332211cccnnAAˆ32,1A,AAB.任一波函数可按其展开（已归一化）（已归一化）C.dxc*nndxc*nmm*nmndxccmmm)x(φc)x(ψλdφc)x(ψλλ所以，是一“奇异函数”。我们引入一个奇异函数，即，其定义dx*0dx*d)dx(cc*)x(mn1mn0dxm*n，以及因此，如，则ba0000x)b,a(0bxa)x(fdx)xx()x(f)(dx*cd)(cd)dx(c*0xx0xx0)xx(000这就保证获得我们所需结果。所以，连续谱归一化的本征函数应使其有例1：求“正交归一”的动量本征函数设：是平方可积，即可进行Fourier展开)x(kde)k(F21)x(xki)(),(于是应有所以，“正交归一”的动量本征函数为)kk(dxe21x)kk(ikddxe)k(F21x)kk(idk)kk()k(F)k(Fdx)x(e21)k(Fikx事实上，由于物理波函数在无穷远为0dxelim21)uu(xx)kk(i0k,k]dxedxe[lim210xx)kk(i0xx)kk(i0])kk(i1)kk(i1[lim210ikxke21)x(于是有例2，求“正交归一”的坐标本征函数（自做）由本征方程)kk(2021/xikxkelim)x(u)x(x)x(xˆxx])kk([lim1220的“正交归一”的坐标本征函数为它是完备的：D.表示在态中测量力学量的几率。因而由)xx()x(xxd)xx()x()x(2ncnAAˆ取)x(n2nncAAˆdx)x(ˆ)x(*xˆ由这可见（如已归一化），为测量取值在区域中的几率。(2)δ函数A.δ函数的定义和表示δ函数不是一般意义下的函数，而是一分布。但习惯上仍将它看作一函数。)x(dc2ˆddc2其重要性和意义在积分中体现出来；它可用一函数的极限来定义。ab0x0x0)x(ba0000x)b,a(0x)b,a()x(fdx)xx()x(f现看不定积分x0x00x1xd)x(0x00x1)x(U)x(U)x(写得更为明确一些（对任意a）)ax()ax()ax(U)ax(Ulim)x(0a)x(Flima0a1dx)x(Fa显然下面给出另一些δ表示式（作为函数参量极限）cizxdzzei21)x(Ucizxdze21)x(U)x(dke21ikx2LLxLxcos1lim1)x(c220ααxαlimπ1)x(δxLxsinlim1L2xieilim2x0e1lim2LLxcosLlimπ2B.δ函数的性质下面给出δ函数的性质，是表示当它们在积分中出现时，左边表示可被右边表示代替。推论：如有方程A＝B，则)x()x()x(a1)ax(0)x(x)x(cxBxA例所以，由于对于a,b都大于零或都小于零，两式相等；但a0,b0或a0,b0,则两式不等，从而可定出c，即,1xlndxdx)x(cx1xlndxdbaalnblnxdxlndxdbaalnblndxx1若，但，即不是重根。)x(ix1xlndxd)ax()a(f)ax()x(f)ay(dx)ax()xy(nnn)xx()x(g1))x(g(0)x(gn0)x(gn例于是有推论)ax()ax(1)ax()ax(1)ax(ax22ax2222)ax(a21)ax(a21))ax()ax((x21但是由dx)x(x20202dx)x(xdx)x(x022022dx)x(21dx)x(21)x()x(x200dy)y(21dw)w(2100dy)y(21dy)y(21dy)y(21)x()x(x22这一矛盾或错误的来源是，是有条件的。为清楚看到这一点，取)x()x(x2222021)x(lim)x(dx)x(limxdx)x(x0222022)tan2(lim110所以，0002101dx)x(x2000)x(210)x()x