北京大学量子力学课件-第19讲

第十九讲Ⅰ.量子体系状态的表示在几何学中，一个矢量可以用它在某个坐标架中的坐标来描述（现限于正交坐标）显然，当坐标架给定后332211aeaeaeA)e,e,e(321如果有一组力学量构成一力学量完全集其共同本征函数构成一正交，归一和完备组，并有封闭性321aaaMˆmnnm,集合是与完全等价的状态表示的定义：若力学量的完全集的共同本征函数组为，则的全体，被称为体系所处态在表象中的表示。),(rd)r()r(am*mmmaMˆm),(ammmaMˆ对于分立谱：则在表象中的表示，可以用一单列矩阵表示而归一化21aaa2mmm,nmm*n*nardaa),(Mˆma对于连续谱：则在表象中的表示，它是的函数1aaaa)a,a(21*2*1ˆarddd)r(a)r(a),(**da21Ⅱ.Dirac符号介绍一个态矢量可由一组数表示，但在表示（或计算）时，其实已用到态矢量在表象中的表示及表象的共同本征矢的表示。mamarrrd)r(Ψ)rr(δ)ψ,φ()r(Ψrrd)r(Φ)rr(δ)Φ,φ()r(Φmrm而事实上，一个描述体系处的状态，并不需要依赖于某一表象，而仅在计算时，才在一个具体表象中进行。Dirac建议用一抽象的符号来描述体系所处的状态.（1）量子态、Ket矢，Bra矢（Bracket）rd)r()r(a*mm量子力学中的状态，可以看作某线性空间中的一个矢量，我们称为Ket矢以表示。为使它可代表不同Ket矢，则在这表示中给出特征标志符号。如态矢量是的本征矢，它的本征值为，则本征矢可表为或中心力场中能量的本征波函数nNNˆ)r(unlmnlmnNn共轭空间态矢量可以以符号来表示，称为Bra矢，如nlmEnlmHˆnlnlm)1l(lnlmLˆ22nlmmnlmLˆzNnlm5432154321（2）标积：A.标积定义：矢量和矢量的标积为一数，它表示为),(nmnmnmmn1mmmnnm*B．基矢的正交、归一、完备和封闭性，态矢量的表示若力学量形成一力学量完全集，其共同本征态为，它们被称为N表象的基矢，相应本征值为。它们是正交、归一和完备的。正交，归一NˆnnN))cc(cc(nnnn或完备性：对任一空间态矢量，可表为称为态矢量在N表象中的表示n)(nan)(nana)(n封闭性：在x表象中，的表示即为nnn)x(xInnnIxdxx若就是N表象的本征矢，那在自身表象中的表示nnn)n(nnna010a)n(n行第n),2,1n(N表象中的基矢在表象中的表示即为而代表表象中的基矢（本征值为)在N表象中的表示这样，在坐标表象中，本征函数组的封闭性就易于了解。x)x(nxnxnxx)x(nx)n(xn*n*x由本征矢的封闭性：Ⅰ即nnn)xx(xxxnnxnnn*nn)xx()x()x(nx*x)xx()n()n(xxxxdxxx)xx(xd)xx()xx()xx(xxxxxnnxnnx*x)xx()n()n(而二个矢量的标积nnnnn*nba321321bbbaaa***321321bbbaaabaxdxxdx)x()x(*（3）算符及其表示A.算符的自然展开：在量子力学中，可观测力学量是以厄密算符表示，其本征方程为则或nnnLLLLˆLLLLˆ或nnnnLLLLˆdLLLLLˆ称为算符的自然展开。B.算符的表示算符是将一态矢量变为另一态矢量设：是一力学量完全集，其正交，归一，完备组基矢为则LˆLˆNLˆRAˆnNLˆRmmmnn和分别是态矢量，在表象中的表示。而是将态矢量表示变到态矢量表示，所以它起到算符同样的作用。的全体称为算符在表象中的矩阵表示。显然，计算这一表示，其结果与在那一个表象中计算是无关的}R{n}N{mRNAˆmnLˆNRLˆmnLˆAˆmnmnrrdrLˆrrdrLˆrdrd)r(V)Lˆ)(r(Vmnrr*rLˆr)Lˆ(rrnnnnrLLLr)r(uL)r(un*nnn为力学量在表象中的算符。事实上，矩阵描述了表象中的本征态，即基矢，在算符作用下，所得到)r(u)r(u)i,r(Lˆn*nn)rr()i,r(Lˆ)i,r(LˆLˆrrr)Lˆ(nmLAˆmLˆ即这表明，表象中的基矢在作用下所产生的新的态矢量在表象中的表示正是算符在表象中矩阵表示的第列元素集合nnnmnmnnmLLˆLˆm33m22m11mLLLLˆAˆmLˆAˆLˆAˆm于是，我们求算符在某表象中的矩阵表示。只要将它作用于该表象的基矢上，将所得展开系数形成的矩阵转置，即得在该表象中的表示。LˆLˆ3132121111LLLLˆ3232221212LLLLˆ3332321313LLLLˆ其系数矩阵为：转置这即为在表象中的矩阵表示显然，算符在其自身表象中的表示为22122111LLLL22211211LLLL111Aˆ222AˆAˆ系数矩阵为，转置同。所以是对角矩阵，而矩阵元为其本征值。333Aˆ0000000321例：给出方程在表象中的表示式)x(x)x(xPˆxˆPPxxxxxxPPPdPxˆPbxxPPPPda)xˆ(xxx①dxPxxxPPxˆP)xˆ(xxxxPPxxdx21xeexPixiPxxdxe21Pix)PP(ixxx)PP(Pixxx)PP(Pixxx②由(由函数性质）xxPPPxˆP)xˆ(xx)PP(iPPiP]x,Pˆ[PxxxxxxxxxxxxxxxPxP)PP(PPˆxxPˆP)x()x(xxxPxˆP)PP(δPixxx并由此可推论，由于是任意态，所以在表象中，算符的形式为xxpxpapibxPxˆxPixPxxxpPda)pp(pibxx(4)不可约张量算符的矩阵元计算简介A.不可约张量算符的G.Racah定义若满足以下的对易关系其中，则称为秩不可约张量算符。LMT1211LMLMT)ML)(ML(T,JLMLMzMTT,JLMTLyxJˆiJˆJˆB.Wigner-Eckart定理维格纳-埃伽定理：矩阵元与投影量子数的关系完全包含在C-G系数中证：由则有它是表示投影量子数的守恒规则。jmTmjLMjTjjmLMmjjLjmTmjLLMjmTmjMjm]T,J[mjLMLMz0jmTmj)Mmm(LM由得（1）jmJTmjjmTJmjLMLMjmTmj)]mj)(mj[(LM11211121jmTmj)]mj)(mj[(LMjmTmj)]ML)(ML[(LM1211jmTmj)]ML)(ML[(LM1211根据投影量子数守恒知，仅当矩阵元才不为零。我们知将算符1mMmM,mmjjLLM,jmLMjmmjLˆjˆJˆ作用于方程两边，得于是有1121mj)]mj)(mj[(M,mmjjLLM,jmLMjm)]mj)(mj[(1121M,mmjjLLM,jmLMjm)]ML)(ML[(1121以标积方程两边，得1121mjLjLj)]mj)(mj[(,M,mmjjLL,jLj)]j)(j[(1121M,mmjjLL,jLj)]L)(L[(1121LMjm与(1)式比较，可见矩阵元随投影量子数的变化与C-G系数的变化规律是完全一样的。于是有1121mjjmLM)]mj)(mj[(mjjLLM,jm)]j)(j[(1121mjjLLM,jm)]ML)(ML[(1121LMTC.一秩张量的投影定理证：由于为一秩不可约张量算符，所以jTjjmLMmjjLjmTmjLLMmMm)j(jjm)TJ(JmjjmTmjjjMM111MT11121121MMT)M)(M(T,JMMzMTT,J11从而得现求zyxiTT,J11zxyiTT,J11yxziTT,J11xyziTT,J11xT,J12JT,JT,JJT,Jxxx1112yzzyyzzyJTiJTiTJiTJi1111xzyyzTiTJiTJi111222JT,JT,JJT,Jyyy1112zxxzxzzxJTiJTiTJiTJi1111zxxzxzzxJTiJTiTJiTJi1111∴JT,JT,JJT,Jzzz1112xyyxyxxyJTiJTiTJiTJi1111xT,J,J122zxzxzzxzzxzJTJJTJTJTJJ[)i(1112122xxyyyxyyxyxyT,J)i(]JTJJTJTJJTJ122111122yzxzzxzyzTJiJTJTJTiJ[)i(111212222xxyyzyzyxyT,J)i(]JTJTJiTJiTJ12211112222xzzyyxxxzyxJ)TJTJTJ(T)JJJ([)i(11112222222xT,J)i(1222]T,J[)i(]J)TJ(TJ[)i(xxx12212224]JTJTJxxxxx11222∴即同理有024412212122jm]T,J[mj)i(jmJ)TJ(mj)i(jmTJmj)i(xxxjjxx)j(jjm)TJ(JmjjmTmj111jjyy)j(jjm)TJ(JmjjmTmj111从而有jjzz)j(jjm)TJ(JmjjmTmj111mMm)j(jjm)TJ(JmjjmTmjjjMM111§6.3表象变换：用Dirac符号给出表象变换特别方便。而且可以看出，在某表象中的表示是不因计算方式不同而不同。（1）同一状态在不同表象中的表示间的关系对于态在表象中，其表示为FˆnfnafnnnfffFˆnnnffnfnnaf就是态在表象中的表示在表象中其表示为于是，nfaFˆGˆgbgnffanggfn是将态矢量在表象中的表示，以表象中的