“人船模型”的拓展与应用

“人船模型”的拓展与应用汪志杰（湖北省仙桃中学，湖北仙桃433000）物理学所分析、研究的实际问题往往很复杂，为了便于着手分析与研究，物理学中常常采用“简化”的方法，即忽略次要因素、抓住主要矛盾，对实际问题进行科学抽象的处理，用一种能反映原物本质特性的理想物质（过程）或假想结构，去描述实际的事物（过程）。这种理想物质（过程）或假想结构称之为“物理模型”。在解题中要善于通过对问题的全方位联想，寻找问题与一些已有物理模型间的联系，实现知识的正向迁移，从而达到解决物理问题的目的。下面谈一谈“人船模型”在解题中的应用。一、模型的建立如图1所示，长为L、质量为m1的小船停在静水中，一个质量为m2的人立在船头，若不计水的粘滞阻力，当人从船头走到船尾的过程中，船和人对地面的位移各是多少？选人和船组成的系统为研究对象，由于人从船头走到船尾的过程中，系统在水平方向不受外力作用，所以水平方向动量守恒。人起步前系统的总动量为零。当人起步加速前进时，船同时向后加速运动；当人匀速前进时，船同时向后匀速运动；当人停下来时，船也停下来。设某一时刻人对地的速度为v2，船对地的速度为v1，选人前进的方向为正方向，根据动量守恒定律有22110mvmv即2112vmvm因为在人从船头走到船尾的整个过程中，每一时刻系统都满足动量守恒定律，所以每一时刻人的速度与船的速度之比，都与它们的质量成反比。从而可以得出判断：在人从船头走到船尾的过程中，人的位移s2与船的位移s1之比，也等于它们的质量的反比，即2112smsm①由图可以看出,12ssL②由①、②两式联立解得2112msLmm，1212msLmm二、模型的拓展上面①、②两式是人船模型的两个重要关系式。对于人船模型，可以拓展为：一个原来处于静止状态的系统，在系统内两个物体发生相对运动的过程中，有一个方向动量守恒（如水平方向或竖直方向）的情况。拓展后的“人船模型”适用条件是：（1）两个物体组成的系统初态静止；（2）系统动量守恒或在某一方向上动量守恒。那么这两个物体在动量守恒方向s1s2上的位移一定同时满足①、②两式。使用①、②两式应特别注意：（1）s1和s2是两物体在动量守恒方向上相对同一参照物的位移；（2）②式中的L为两物体在动量守恒方向上的相对位移。三、模型的应用例1如图2所示，光滑水平面上有一小车，小车上固定一杆，总质量为M；杆顶系一长为L的轻绳，绳另一端系一质量为m的小球；绳被水平拉直处于静止状态（小球处于最左端）。将小球由静止释放，小球从最左端摆下并继续摆至最右端的过程中，小车运动的距离是多少？【解析】本题球和车组成的系统符合“人船模型”的适用条件，因此可用①、②两式求解。但要注意球和车的相对位移为2L.设某一时刻小球速度的水平分量为v（方向向右），小车的速度为V（方向水平向左），选水平向左为正方向，根据动量守恒定律有0MVmv即vMVm则小球的水平位移与小车的位移满足mMsMsm又2mMssL以上两式联立解得2MmsLMm例2质量为m、半径为R的小球，放在质量为M、半径为2R的圆柱形桶内，圆桶开始静止在光滑水平面上。在小球从如图3所示位置无初速度地沿圆桶内壁滚到最低点的过程中，圆桶移动的距离为3R，试求M是m的几倍？【解析】本题看似与“人船模型”差异很大，但仔细分析，二者本质相同：系统初态静止且在水平方向上动量守恒，因此小球和圆桶组成的系统符合“人船模型”的适用条件，只不过②式中的相对位移L应为小球和圆桶在水平方向上的相对位移R，而不是2R。设某一时刻小球速度的水平分量为v（方向向右），圆桶的速度为V（方向水平向左），选水平向左为正方向，根据动量守恒定律有0MVmv即vMVmR2R图3图2则小球的水平位移与圆桶的位移满足mMsMsm又mMssR以上两式联立解得M=2m,即圆桶的质量M是小球质量m的2倍.例3载人气球原来静止于高h的高空，气球质量为M，人的质量为m，若人沿绳梯滑至地面，则绳梯至少为多长？【解析】设某一时刻人的速度为v1，气球的速度为v2，选竖直向下为正方向，根据动量守恒定律有120mvMv即12vmvM则人的位移S1与气球的位移S2满足12SMSm而人的位移S1=h，代入上式解得2mShM由图4知，绳梯的最短长度为12MmlSShM总之，分析和解答物理问题的过程，就是构建物理模型的过程。也即把物理问题与某些已有模型进行类比的过程。通过表象、特征、功能等方面的相似性，使物理问题与已有模型得到沟通，从而迅速确立解题的方向。但在这些过程中，要十分注意模型的本质特征、约束条件，以便有效、准确地应用模型解题，避免出现差错。【配套练习】1、如图5所示，质量为M，半径为R的光滑半圆弧槽静止在光滑水平面上。有一质量为m的小滑块在与圆心O等高处无初速度滑下，在小滑块滑到圆弧槽最低点的过程中，圆弧槽产生的位移的大小为_________.2、如图6所示，一个质量为m的玩具蛙蹲在质量为M的小车的细杆上，小车放在光滑的水平桌面上。若车长为l，细杆高为h，且位于小车的中点，试求：当玩具蛙最小以多大的水平速度v跳出时，才能落到桌面上？答案：1、mRMm；2、2()2MlgMmhmMOR图5图6lhMMS1＝hlS2图4通讯地址：湖北省仙桃中学邮政编码：433000电话：[phone]E-mail：[e-mail]