圆锥曲线题型总结

1直线和圆锥曲线常考题型运用的知识：1、中点坐标公式：1212,y22xxyyx，其中,xy是点1122(,)(,)AxyBxy，的中点坐标。2、弦长公式：若点1122(,)(,)AxyBxy，在直线(0)ykxbk上，则1122ykxbykxb，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，2222221212121212()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx221212(1)[()4]kxxxx或者2222212121212122111()()()()(1)()ABxxyyxxyyyykkk2121221(1)[()4]yyyyk。3、两条直线111222:,:lykxblykxb垂直：则121kk两条直线垂直，则直线所在的向量120vv4、韦达定理：若一元二次方程20(0)axbxca有两个不同的根12,xx，则1212,bcxxxxaa。常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题问题九：四点共线问题问题十：范围问题（本质是函数问题）问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1lykx与椭圆22:14xyCm始终有交点，求m的取值范围解：根据直线:1lykx的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22:14xyCm过动点0),4mm（，且，如果直线:1lykx和椭圆22:14xyCm始终有交点，则14mm，且，即14mm且。2规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101lykx过定点（，）:(1)1lykx过定点（，0）:2(1)1lykx过定点（，2）题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N：2yx交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(0x,0)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出0x；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)lykx，0k，11(,)Axy，22(,)Bxy。由2(1)ykxyx消y整理，得2222(21)0kxkxk①由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410kkk即2104k②由韦达定理，得：212221,kxxk121xx。则线段AB的中点为22211(,)22kkk。线段的垂直平分线方程为：221112()22kyxkkk令y=0,得021122xk，则211(,0)22EkABE为正三角形，211(,0)22Ek到直线AB的距离d为32AB。221212()()ABxxyy222141kkk212kdk22223141122kkkkk解得3913k满足②式此时053x。题型三：动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线:(2)lxtt与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论3解：（I）由已知椭圆C的离心率32cea，2a,则得3,1cb。从而椭圆的方程为2214xy（II）设11(,)Mxy，22(,)Nxy，直线1AM的斜率为1k,则直线1AM的方程为1(2)ykx，由122(2)44ykxxy消y整理得222121(14)161640kxkxk12x和是方程的两个根，21121164214kxk则211212814kxk，1121414kyk，即点M的坐标为2112211284(,)1414kkkk，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为2222222824(,)1414kkkk12(2),(2)ppyktykt12122kkkkt，直线MN的方程为：121121yyyyxxxx，令y=0，得211212xyxyxyy，将点M、N的坐标代入，化简后得：4xt又2t，402t椭圆的焦点为(3,0)43t，即433t故当433t时，MN过椭圆的焦点。题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A、B、C是椭圆E：22221xyab(0)ab上的三点，其中点A(23,0)是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且0ACBC，2BCAC，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线3x对称，求直线PQ的斜率。解：(I)2BCAC，且BC过椭圆的中心OOCAC0ACBC2ACO又A(23,0)点C的坐标为(3,3)。A(23,0)是椭圆的右顶点，23a，则椭圆方程为：222112xyb将点C(3,3)代入方程，得24b，椭圆E的方程为221124xy(II)直线PC与直线QC关于直线3x对称，设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为k，从而直线PC的方程为：43(3)ykx，即3(1)ykxk，由223(1)3120ykxkxy消y，整理得：222(13)63(1)91830kxkkxkk3x是方程的一个根，229183313Pkkxk即2291833(13)Pkkxk同理可得：2291833(13)Qkkxk3(1)3(1)PQPQyykxkkxk＝()23PQkxxk＝2123(13)kk2222918391833(13)3(13)PQkkkkxxkk＝2363(13)kk13PQPQPQyykxx则直线PQ的斜率为定值13。题型五：共线向量问题例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M：22194xy于P、Q两点，且DPDQl=uuuruuur,求实数l的取值范围。解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),QDPDQl=uuuruuur\(x1,y1-3)=l(x2,y2-3)即12123(3)xxyyllì=ïïïíï=+-ïïî判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为：3,0ykxk，由2234936ykxxy消y整理后，得22(49)54450kxkxP、Q是曲线M上的两点22(54)445(49)kk＝2144800k即295k①由韦达定理得：1212225445,4949kxxxxkk212121221()2xxxxxxxx222254(1)45(49)kk即22223694415(1)99kkk②由①得211095k，代入②，整理得236915(1)5，解之得155当直线PQ的斜率不存在，即0x时，易知5或15。总之实数l的取值范围是1,55。题型六：面积问题例题6、已知椭圆C：12222byax（a＞b＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。5（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为23，求△AOB面积的最大值。解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意633caa，，1b，所求椭圆方程为2213xy。（Ⅱ）设11()Axy，，22()Bxy，。（1）当ABx⊥轴时，3AB。（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm。由已知2321mk，得223(1)4mk。把ykxm代入椭圆方程，整理得222(31)6330kxkmxm，122631kmxxk，21223(1)31mxxk。22221(1)()ABkxx22222223612(1)(1)(31)31kmmkkk22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)kkmkkkk2422212121233(0)34196123696kkkkkk≤。当且仅当2219kk，即33k时等号成立。当0k时，3AB，综上所述max2AB。当AB最大时，AOB△面积取最大值max133222SAB。题型七：弦或弦长为定值问题例题7、在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p0）相交于A、B两点。（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得6.22pkxypyx消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是21221xxpSSSACNBCNABN＝21221214)(xxxxpxxp＝.228422222kppkpp222min0pSkABN）时，（当.（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为为直与ACtO,径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则）点的坐标为（2,2,11pyxOPQHO2121)(2121pyxACPO＝22121py.,221211pyapyaHO222HOPOPH=21221)2(41)(41pyapy＝),()2(1apaypa22)2(PHPQ=.)()2(42apaypa令02pa，得pPQpa此时,2为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为2py，即抛物线的通径所在的直线.解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得22222122122128414)(11pkpkxxxxkxxkAB＝.21222kkp又由点到直线的距离公式得212kpd.从而，,2212212212122222kpkpkkpABdSABN.22max02pSkABN）时，（当（Ⅱ）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为,0))(())(0(11yypyxxx将直线方程y=a代入得7).(1)2(4))((4,0))((121112apaypayapaxyapaxxx＝则设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有.)()2(2)()2(41143apaypaapaypaxxPQ令pPQpapa此时得,2,02为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为2py.即抛物线的通径所在的直线。题型八：角度问题例题8、（如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：6.PMPN（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若2·1cosPMPNMPN＝,求点P的坐标.解：(