三角形证明

第1页（共23页）三角形证明一、等腰三角形1．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是．2．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为．3．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为．4．等腰三角形中有一个角是70°，则它的顶角是．5．等腰三角形的一个外角度数为100°，则顶角度数为．6．如图，在△ABC中，∠ABC=120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE=ED=DB=BC，则∠A的度数为°．7．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=∠B，AB=2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为．8．如图：在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A=．9．如图，在4×3的正方形网格中，点A、B分别在格点上，在图中确定格点C，则以A、B、C为顶点的等腰三角形有个．第2页（共23页）二、直角三角形10．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则腰上的高为．11．如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，∠BAC=120°，过点A作AD⊥AC交BC于点D，则AD=cm．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，且EC=5，则AE的长为．13．如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动分钟后△CAP与△PQB全等．14．如果等腰三角形的一个内角为30°，腰长为10，那么腰上的高长为．三、垂直平分线15．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAN=．第3页（共23页）16．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是cm．17．在△ABC中，BC=9，AB的垂直平分线交BC与点M，AC的垂直平分线交BC于点N，则△AMN的周长=．18．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF=．19．如图，已知在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线交边AC于点D，且∠CBD：∠ABD=4：3，那么∠A=度．20．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=16°，则∠C的度数为度．第4页（共23页）四、角平分线21．如图，已知：BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC=36cm2；，AB=12cm，BC=18cm，则DE的长为cm．22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为．23．如图，在△ABC中，∠A=70°，点O到AB、BC、AC的距离相等，连接BO、CO，则∠BOC=°．24．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有处．25．如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC等于．第5页（共23页）五、综合题26．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．27．在△ABC中，AB=AC．（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．第6页（共23页）第7页（共23页）2018年03月09日150****1260的初中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共25小题）1．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是12cm．【解答】解：等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，当腰长是5cm时，则三角形的三边是5cm，5cm，2cm，5cm+2cm＞5cm，满足三角形的三边关系，三角形的周长是12cm；当腰长是2cm时，三角形的三边是2cm，2cm，5cm，2cm+2cm＜5cm，不满足三角形的三边关系．故答案为：12cm．2．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为7.5cm或11cm．【解答】解：①当11cm为腰长时，则腰长为11cm，底边=26﹣11﹣11=4cm，因为11+4＞11，所以能构成三角形；②当11cm为底边时，则腰长=（26﹣11）÷2=7.5cm，因为7.5+7.5＞11，所以能构成三角形．故答案为：7.5cm或11cm．3．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为50°或130°．【解答】解：当为锐角时，如图∵∠ADE=40°，∠AED=90°，∴∠A=50°，当为钝角时，如图∠ADE=40°，∠DAE=50°，∴顶角∠BAC=180°﹣50°=130°．故答案为：50°或130°．第8页（共23页）4．等腰三角形中有一个角是70°，则它的顶角是40°或70°．【解答】解：①70°是底角，则顶角为：180°﹣70°×2=40°；②70°为顶角；综上所述，顶角的度数为40°或70°．故答案为40°或70°5．等腰三角形的一个外角度数为100°，则顶角度数为80°或20°．【解答】解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°=80°；当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°﹣100°=80°，所以顶角的度数为180°﹣2×80°=20°；故顶角的度数为80°或20°．故答案为：80°或20°．6．如图，在△ABC中，∠ABC=120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE=ED=DB=BC，第9页（共23页）则∠A的度数为15°．【解答】解：设∠A=x°，∵AE=ED，∴∠ADE=∠A=x°，∴∠BED=∠A+∠ADE=2x°，∵ED=DB，∴∠ABD=∠BED=2x°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x°，∵DB=BC，∴∠C=∠BDC=3x°，∵∠ABC+∠A+∠C=180°，∠ABC=120°，∴120+x+3x=180，解得：x=15，∴∠A=15°．7．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=∠B，AB=2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为2s或6s．【解答】解：当AB=AP时，点P与点C重合，如图1所示，过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B=30°，AB=2cm，∴BD=AB•cos30°=2×=3cm，∴BC=6cm，即运动的时间6s；当AB=BP时，第10页（共23页）∵AB=2cm，∴BP=2cm，∴运动的时间2s．故答案为：2s或6s．8．如图：在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A=45°．【解答】解：∵DE=EB∴设∠BDE=∠ABD=x，∴∠AED=∠A=2x，∴∠BDC=∠C=∠ABC=3x，在△ABC中，3x+3x+2x=180°，解得x=22.5°．∴∠A=2x=22.5°×2=45°．故答案为：45°．9．如图，在4×3的正方形网格中，点A、B分别在格点上，在图中确定格点C，则以A、B、C为顶点的等腰三角形有3个．【解答】解：如图，则符合要求的有：C1，C2，C3共3个点；第11页（共23页）故答案为：3．10．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则腰上的高为4cm．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB，交BA延长线于D，∵∠B=15°，AB=AC，∴∠DAC=30°，∵CD为AB上的高，AC=8cm，∴CD=AC=4cm．故答案为：4cm．11．如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，∠BAC=120°，过点A作AD⊥AC交BC于点D，则AD=4cm．【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AD⊥AC，∴∠CAD=90°，∴∠DAC=30°，AD=BD，∴DA=DC，∴DC+2DC=12，第12页（共23页）解得AD=CD=4，故答案为4．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，且EC=5，则AE的长为10．【解答】解：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠A=∠ABE=30°，∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∴BE是∠ABC的角平线，∴DE=CE=5，在△ADE中，∠ADE=90°，∠A=30°，∴AE=2DE=10．故答案为：10．13．如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动4分钟后△CAP与△PQB全等．第13页（共23页）【解答】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m，分两种情况：①若BP=AC，则x=4，AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ，∴△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，则12﹣x=x，解得：x=6，BQ=12≠AC，此时△CAP与△PQB不全等；综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故答案为：4．14．如果等腰三角形的一个内角为30°，腰长为10，那么腰上的高长为5或5．【解答】解：（1）等腰三角形ABC的顶角是30°，BD⊥AC于D，如图所示：在Rt△ABD中，∵∠A=30°，AB=AC=10，∴BD=5；（2）等腰三角形ABC的底角，是30°，BD⊥AC的反向延长线于D，在Rt△ABD中，∵AB=AC=10，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠BAD=60°，∴∠ABD=30°，∴AD=5．由勾股定理得BD==5．第14页（共23页）综上所述，这个等腰三角形腰上的高是5或5．故答案为：5或5．15．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAN=32°．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=106°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣106°=74°，∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°，∴∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）=106°﹣74°=32°．故答案为32°．16．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是19cm．第15页（共23页）【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AC=2AE=6cm，又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，∴AB+BD+CD=13cm，即AB+BC=13cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．故答案为19．17．在△ABC中，BC=9，AB的垂直平分线交BC与点M，AC的垂直平分线交BC于点N，则△AMN的周长=9．【解答】解：∵直线MP为线段AB的垂直平分线（已知），∴MA=MB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），又直线NQ为线段AC的垂直平分线（已知），∴NA=NC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∴△AMN的周长l=AM+MN+AN=BM+MN+NC=BC（等量代换），又BC=9，则△AMN的周长为9．故答案为：9第16页（共23页）18．如图，△