matlab在信号与图像处理中的应用第7章

1第7章随机信号处理与谱分析信号从广义上可分为两大类：确定性信号和随机信号，上一章内容所针对的信号形式就为确定性信号，本章将学习随机信号的处理方法，其中谱分析是一个非常重要的部分。这里介绍的谱分析包括功率谱估计及高阶谱估计两大部分，各自又有很多种估计方法。由于随机信号的处理方法是基于统计特性的分析，因此本章将首先给出描述统计特性的一些特征量，之后介绍功率谱估计方法，包括经典谱估计法、改进的直接法、AR模型法等，接下来将介绍高阶谱估计方法，包括非参数化方法及参数模型法，最后给出一个综合实例。掌握随机信号的统计描述和统计特性掌握经典功率谱估计方法及改进方法了解AR模型功率谱估计方法理解高阶累积量和高阶谱定义了解高阶谱估计方法估计给定随机序列的均值和方差。产生一个相关正态随机序列，并计算它的自相关函数。产生两个被白噪声污染的随机序列，并分别计算二者的自协方差及互协方差。产生一频率为300Hz的谐波信号（分实数和复数两种情况），叠加高斯白噪声，利用周期图法估计该混合信号的功率谱。产生一频率为300Hz的谐波信号（复数形式），叠加高斯白噪声，利用Welch法估计该混合信号的功率谱。模拟一个非高斯ARMA随机过程，并估计它的3阶累积量，采用函数cum3x。分别利用直接法和间接法估计一个已知的非高斯信号的双谱。估计一已知的非高斯信号ARMA模型参数，并利用此模型估计该信号的双谱。生成一混合信号，包含频率分别为300Hz和320Hz两个谐波信号，并叠加高斯白噪声，分别利用周期图法、Welch法、AR模型法、Burg法、特征向量法以及MUSIC法估计该混合信号的功率谱，并对结果进行分析比较。学学习习目目标标练练习习案案例例第7章随机信号处理与谱分析27.1概述信号常用一组变量值表示，如ts，如果序列在每个时刻t的取值不是随机的，而是服从某种固定函数的关系，则称之为确定性信号，比如上一章介绍的阶跃信号、方波信号、正弦波信号等。与确定性信号不同，如果序列在每个时刻t的取值是随机变量，则称之为随机信号。随机信号也称为随机过程，具有以下特点：随机信号在任何时间的取值都不能先验确定，是随机变化的；虽然随机信号取值不能先验确定，但这些取值服从某种统计规律，或者说随机信号可以用概率分布特性统计描述。例如，一个正弦波信号)cos(tAts如果式中相位是一个随机变量，假设在[-π，π]上均匀分布021f那么该正弦波信号就是一个随机信号。随机信号又分为平稳随机信号和非平稳随机信号两大类，如果随机信号的概率分布不随时间推移而变化，即信号的统计特性与起始时间无关，只与时间间隔有关，这类随机信号就称为平稳随机信号，否则为非平稳随机信号。因而，平稳信号常被称作时不变信号，而非平稳信号常被称作时变信号。提示：时变与时不变是指随机信号的某个或某几个统计量是否随时间变化，而非针对信号的波形而言。随机信号的一个重要性质是遍历性，它所关心的是从随机信号的一次观测值能否估计信号的统计量。如果一个随机信号的均值和方差都具有遍历性，则称该信号具有各态历经性，此时只通过一次观测值就可估计随机过程的多个统计特性，这在实际当中就非常有意义了。为了简化分析和运算，我们常常假设所获得的随机信号具有各态历经性。7.2随机信号的统计特性随机信号可用其统计特性进行描述，这些统计特性又可进一步划分为一阶、二阶和高阶（三阶及三阶以上）统计特性。一阶特性主要是指均值函数，即信号的数学期望，二阶特性主要包括方差、相关函数、协方差函数和功率谱密度，高阶特性则指代高阶矩。对于平稳信号而言，二阶特性往往是最重要的。接下来将对随机信号的几个主要统计特性逐一介绍，并给出MATLAB工具箱提供的相应函数。7.2.1均值和方差均值和方差是常用的描述随机信号统计特性的特征量。假设tx表示一个各态历经的随机信号，那么该信号的均值和方差的定义式分别为：7.2随机信号的统计特性3dxtxxptxEtdef;dxtxpttxttxExxdef;222式中txp;表示信号tx的概率密度函数。在MATLAB工具箱中，分别提供了两个函数来实现随机序列的均值和方差的计算，即均值函数mean和方差函数var。m=mean(X)该函数计算均值的公式为：101NnnxNx格式中若输入参量X是向量，则返回值m为该向量的均值；若输入参量X为矩阵，则返回值m为一个行向量，其元素分别为矩阵X每一列的均值。y=var(X)若输入参量X是向量，则返回值y为该向量的方差；若输入参量X为矩阵，则返回值y为一个行向量，其元素分别为矩阵X每一列的均值。例7-1估计给定随机序列的均值和方差。%随机序列的均值和方差估计x=normrnd(0.1,0.8,1,6)%产生正态分布的随机序列xm=mean(x)xv=var(x)这里x是一个长度为6的正态分布随机序列，结果如下：x=-0.2461-1.23250.20030.3301-0.81721.0527xm=-0.1188xv=0.68407.2.2相关函数相关函数是最为常用的描述平稳随机信号统计特性的二阶统计量之一，可用来描述随机信号不同时刻间的相关程度。我们首先定义单个平稳随机信号的自相关函数，其定义式为：kjkjkjkjkjdefkjxxdxdxttxxpxxtxtxEttR,;,,同理，对于两个平稳随机信号tx和ty，其互相关函数可定义为：kjkjkjkjkjdefkjxydydxttyxpyxtytxEttR,;,,第7章随机信号处理与谱分析4式中kjkjttyxp,;,是tx和ty的二维混合概率密度函数。MATLAB工具箱提供了函数xcorr来实现相关函数的估计，其调用格式为：c=xcorr(x,y);返回随机序列x和y的互相关函数，长为2N-1，假设x和y长度都为N。c=xcorr(x,y,maxlags);输入参量maxlags为x和y之间的最大延迟，返回值c长度为2maxlags+1，如缺省，c长度默认为2N-1。c=xcorr(x,y,maxlags,’option’);这里’option’包括以下几个选择项：‘biased’有偏估计，自相关函数和互相关函数的估计表达式分别取：,1,01ˆ10mmnxnxNmRmNnxx,1,01ˆ10mmnynxNmRmNnxy‘unbiased’无偏估计，自相关函数和互相关函数的估计表达式分别取：,1,01ˆ10mmnxnxmNmRmNnxx,1,01ˆ10mmnynxmNmRmNnxy‘coeff’m=0的相关函数值归一化为1。‘none’不做归一化处理。作为特例，函数xcorr也可用来计算自相关函数，调用格式为：c=xcorr(x);c=xcorr(x,maxlags,’option’);例7-2产生一个相关正态随机序列，并计算它的自相关函数。%相关函数估计程序a=0.85;sigma=1.5;N=200;x=randn(N,1);y(1)=sigma*x(1)/sqrt(1-a^2);fori=2:Ny(i)=a*y(i-1)+sigma*x(i);endc=xcorr(y,'coeff');subplot(121);plot(y,'LineWidth',2);gridonsubplot(122);plot(c,'LineWidth',2);gridon程序中的变量y就是产生的相关正态随机序列，其相关函数表达式为7.2随机信号的统计特性5mxxaamR221程序运行结果如图7-1所示。图7-1随机序列波形及其自相关函数7.2.3协方差函数除了相关函数，协方差也是一个重要的描述随机过程统计特性的二阶统计量。同样，我们也首先定义单个平稳随机信号的自协方差函数，其定义式为：kjkjkjkxkjxjkxkjxjdefkjxxdxdxttxxpttxttxttxttxEttC,;,,自协方差函数kjxxttC,用于表示它的两个随机变量jtx和ktx之间的相关程度。同理，定义两个平稳随机信号互协方差函数，其估计表达式为：kjkjkjkykjxjkykjxjdefkjxydydxttyxpttyttxttyttxEttC,;,,互协方差函数kjxyttC,表示随机变量jtx和kty之间的相关程度，实际上，也是表示随机信号tx和ty之间的相关程度。MATLAB工具箱提供了函数cov计算随机信号的协方差函数，其调用格式为：C=cov(X);当X为向量时，返回值C是一个标量值，表示方差；当X为矩阵形式，每一行表示一次观测值，每列对应一个变量，则返回值C是一个协方差矩阵。第7章随机信号处理与谱分析6提示：方差函数等价于协方差函数的对角元素，即var(X)=diag(cov(X))。C=cov(X,Y);计算输入向量X和Y的互协方差矩阵，X和Y是具有相同长度的列向量。例7-3产生两个被白噪声污染的随机序列，并分别计算二者的自协方差及互协方差。%计算自协方差及互协方差程序fs=100;t=0:1/fs:.1;f1=15;f2=30;x0=cos(2*pi*f1*t).';x=x0+randn(size(x0));y0=cos(2*pi*f2*t).';y=y0+randn(size(y0));Cx=cov(x)Cy=cov(y)Cxy=cov(x,y)程序运行结果如下：Cx=1.5176Cy=0.7867Cxy=1.51760.50670.50670.7867同时，我们计算序列x和y的方差，得到：var(x)ans=1.5176var(y)ans=0.7867可以看出，方差函数确实等价于协方差函数的对角元素。7.3功率谱估计功率谱估计是利用已观测到的一定数量样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度，因其能够分析信号的能量随频率变化的分布特性，在许多实际应用中功率谱的分析与估计已变得越来越重要。例如，强噪声背景下弱信号的检测、雷达和声纳回波信号分析、故障诊断等多个领域都涉及到了功率谱的分析与估计。功率谱密度，简称功率谱，可定义为mjmxxemRP7.3功率谱估计7从表达式中可以看出，随机信号的自相关函数与它的功率谱构成一对离散Fourier变换对，二者分别从时域和频域反映了随机信号的二阶统计特性。功率谱估计方法有很多种，大体上可以分为三大类：非参数方法参数方法子空间方法非参数方法是直接基于观测信号本身进行功率谱估计的一类方法，而不涉及一些模型参数等。其中最简单的一种方法是周期图法，在其基础上的改进方法包括Welch方法等。参数方法是一类基于模型参数的方法，该类方法假设观测信号为一个带有加性白噪声的线性系统的输出，在此架设基础上进行功率谱的估计。代表算法包括Yule-Walker自回归（AR）算法和Burg算法。这类算法首先要估计产生观测信号的线性系统的一组参数（系数）。当样本数较少时，参数方法往往优于经典的非参数方法。子空间方法常常被称作高分辨率方法或超分辨率方法，这类方法基于观测信号相关矩阵的特征分析或特征分解来对功率谱进行估计，例如多信号分类（MUSIC）方法和特征向量（EV）法。这类方法非常适用于分析信号中含有线谱分量的情况，尤其在信噪比很低的情况下，子空间方法就显示出了优越性。MATLAB信号处理工具箱针对以上三类功率谱估计方法分别提供了相应的函数，