北京大学量子力学课件-第9讲

第九讲第九讲宇称宇称(1）已证明，位势在的变换下不变，。xx(明位势在则可选具有确定的宇称的函数作为能量本征态的解解。把以偶函数描述的态称为偶宇称态)x(u)x(un1n1)(u)(un1n1奇函数描述的态称为奇宇称态。)x(u)x(un2n2宇称的概念是量子力学所特有的。(2)有限对称方位阱：(2)有限对称方位阱：2axV)x(V02ax0)x(V仅讨论束缚态，所以0EV0由于是一维对称势的束缚态。因此其解必具有确定的宇称所以只要在区域中求解0具有确定的宇称。所以，只要在区域中求解A．偶宇称解：0x偶宇称解：)x(Eu)x(u)x(V)x(u2)x(Eu)x(u)x(V)x(um2由于，有解0EV0由于，有解0EV02ax0xαsinBxαcosA2axDeCe2)x(uxβxβ，2其中，，。2mE2α20)EV(m2β由于是偶宇称解，所以其导数为奇函数，即在处导数为零的解于是要求00B即在处，导数为零的解。于是，要求另外，要求解有界，所以可能解为0x0B另外要求解有界所以可能解为2ax0xαcosA)x(u2axCe2)x(uxβ利用处，波函数及其导数连续，，令2axuu22a,a222tan而22022a2mV由这两个方程→2m2αE22()。在第一和第三象限所以，,0a2axCexβa2axxαcosA)x(uxβ2axCexβB．奇宇称解：由于是奇宇称解，波函数在处应为0于是A＝0得解的形式0x处应为0，于是A＝0。得解的形式0xa0iBaC2x0xαsinB)x(uxβ2xCexβ同理在处连续，得uu2axηξcotξ另外22022a2mVηξ从而求得22αE22从而求得→（）m2E在第二和第四象限所以，ξ,0η而相应波函数为在第和第四象限所以ξ,ηaxCexaxxsinB2xCe)x(uaxCe2xxsinB)x(ux2xCeC．讨论1当2220πamV1.当即只有个解而在区域22a2222πξ即,只有一个解。而在区域222πηξπ中点为态2πxα中无零点，即为基态;当222π2mVπ当2202π2a2mV2π时，这时交二个点，即有二个分立能级。基态无零点：第一激发态有一个零点。当22V)1(022002πna2mV2π)1n(时，交个点，有条能级。等高有限方位势分立能级数目取决于0n0n等高有限方位势，分立能级数目取决于20amV的大小。但不管如何小，总有分立能级，至少个0一个。2.在经典力学中，当时，粒子只能0VE2.在经典力学中，当时，粒子只能0处于区域中。而量子粒子，则有一定的几率处于区域中而且必须有正是由于2a2aEV率处于区域中，而且必须有。正是由于这一点，无论如何小，至少有一个解。EV020amV这点无论如何小至少有个解(3)求粒子在双位阱中运动A位势两边的波函数导数间的关系0A．位势两边的波函数导数间的关系)(E)()(V)(2其中)x(Eu)x(u)x(V)x(um2)(δ)(其中，。)ax(δV)x(V0)(mV2)0()0(0)a(uV)0a(u)0a(u20B．求双位阱解)ax(δ)ax(δV)x(V0)x(Eu)x(u2ax0)x(Eu)x(um2ax令2mE2Κ在区域有解，即2)a,0(xxe,e在区域有解即,xsinhCxcoshB在区域有界,于是有解。axxΚAe在区域有界,于是有解。1．偶宇称态解AeaxAeaxxcoshB)x(ux0axAe由波函数在a处连续a由导数间的关系为acoshBAea由导数间的关系为aaAemVasinhBAe02所以AeasinhBAe2mV20所以，asinhBAemV2a20于是有1atanh01atanh代，200mV2ay得a21yaytanh0，偶宇称态的能量为2g2gyE12gma2Eaya210g0其相应的波函数为axAea/xygaxAeaxa/xycoshB)x(ua/xygg2奇宇称解：axAe2．奇宇称解：由波函数在处为零，于是有0xax0xsinhB)x(uaxAe)x(ux由波函数在处连续ax波函数导数在处的联系aAeasinhBax波函数导数在处的联系aaAmVhBA02axaaAeacoshBAe20aAeacoshB0得yayytanh0ya0奇宇称态的能量为2121aym2Eam2a002y001axAea/xy1axAeaxa/xysinhB)x(ua/xy111axAe结论：①当位势有对称性时，用宇称概念求解简易得多解简易得多。②位势如为势，则在其宗量为零处的②位势如为势，则在其宗量为零处的波函数导数间的联系为（）)ax(δVV0)a(umV2)0a(u)0a(u20§3.7束缚能级与反射振幅极点的关系MaxBorn给出定态散射解eθf)θ(ikrikzrφ,θfe)φ,θ,r(ψikz（如相互作用力程有限，或当比还r012如相作用力程有限或当快）束缚态矩阵的极点r2束缚态S矩阵的极点在一维情况下，对应的极点应是反射振幅的在维情况下，对应的极点应是反射振幅的极点，而不仅是透射振幅的极点。因有些问题是有射振幅任何散射过程总存在射振没有透射振幅。但任何散射过程总是存在反射振幅。幅。（1）半壁δ位阱的散射0x)x(VAE0由右向左入0x)ax(V)(0A．E0，由右向左入射。由于入射波经位势的作用。所以，在区域和区域都有a0ax和区域都有反射波。a0axax0kxsinBaxRee)x(uikxikxax0kxsinB由波函数连续，及其导数的关系（在处）axikikkasinBReeikaikamV20ikikkasinBmV2kacosBk)Ree(ik20ikaikaikmV2∴ika220ikaemV2kasinkmV2eR20ikakasinkmV2ekimV2ie2B0ikaikakasinke20ika透射振幅为零，只有反射振幅。imE2imE2k22代入R分母得mV20asinhmV2e20a0asinhasinhacosh0其中200mV2其中20yyyytanh而，yy0aKy00Kay而这与直接求解双对称势的奇宇称所得的确定本征值的方程完全致00确定本征值的方程完全一致。（2）有限深方位阱：（）有限深方位阱：ax,0xV)x(V0ax00)x(V当0VEax0BeAe0xRee)x(uxikxikikxikx11axSeax0BeAe)x(uikx其中0)VE(m2k1mE2k其中,,,可得2k21kaksin)kk(iakcoskk2aksin)kk(iR221212aksin)kk(iakcoskk21111ekk2S22ika1若位势有束缚态，则，而aksin)kk(iakcoskk2122111ik若位势有束缚态，则，而0)EV(m2为R或S的极点。2为R或S的极点。0aksin)k(iakcoski2122111令)(1111ak1a令，222222cossin222tan2222sincos2tantantan)(tancot或cottan或§3.8一维谐振子的代数解法：若粒子在2x1)x(V中运动x2)x(VEuu)xΚ21d2(2222令，则)2dxm2(2Κω令，则mEuu)xωm1d(2222该问题还有其他办法求解那就是用算符代Euu)xωm2dxm2(2该问题还有其他办法求解，那就是用算符代数来求解。（1）能量本征值在本征方程中我们有参数由它ωm在本征方程中，我们有参数，由它可组成ω,,m长度，质量m，时间。于是有1长度，质量m，时间。于是有能量，动量，角动量，质量m，ωωmω21m时间，长度为单位。ω1ωm定义二个无量纲的算符ωωm]xˆpˆ)m(i[maˆx122m]xˆpˆ)m(i[maˆx12现看im1122]pˆxˆxˆpˆixˆmpˆm1[21aˆaˆxx22x21Hˆ1]pˆxˆxˆpˆixˆmpˆ1[21aˆaˆxx22xm21Hˆ12H于是，有二个重要结论：1]ˆˆ[A.B1]aˆ,aˆ[)ˆˆ()ˆˆ(Hˆ11B.现看)aˆaˆ()aˆaˆ(H22)Hˆ(aˆ)21aˆaˆ(aˆaˆ)21aˆaˆ(aˆHˆ若是的本征态，相应本征值为，即22nuHˆnEˆ即则nnnuEuHˆˆˆnnnnuaˆ)E(u)Hˆ(aˆuaˆHˆ也是的本征态，本征值为，能量下降了个（即称为个量子）所以nuaˆHˆnE量下降了一个（即称为一个量子）。所以，一个量子被消灭。通常称为声子消灭算符。aˆ同样有11ˆ也是的本征函数相应本征值为nnnnnuaˆ)E(u)21aˆaˆ(aˆuaˆ)21aˆaˆ(uaˆHˆuaˆHˆE也是的本征函数，相应本征值为，即增加能量，所以，被称为声子的产生nuaHnEaˆ算符。由于是二个平方项之和所以它的能量ˆ由于是二个平方项之和，所以它的能量H本征值恒为正。因此必存在能量最小的本征态0u0E0uaˆ0E这与为最低能量所对应的本征态的假设相冲突，因此0u相冲突，因此0uaˆ0由000uEuHˆ1021u)aˆaˆ(。0u21所以，最低能量为221任一激发态，在算符的连续作用下，2nuaˆ最终必须到态。若经则的本征值应为0uunuuaˆu若经，则的本征值应为nu0nuuanu)n(1)n(2，0n0nnu)aˆ()21n(u)aˆ()21aˆaˆ(uHˆ也即。所以，00n)()2()()2(0n0n*u)aˆ(nu)aˆ(aˆaˆaˆaˆNˆ也即所以，称为声子数算符。谐振子的能量本征值取00)()(谐振子的能量本征值取)1()2n(它的能级是等间距的。(2)能量本征函数(2)能量本征函数由，0uaˆ0而)dd(21]xˆmpˆ)m(i[21aˆ21x21于是有d200uudd其中，是无量纲量，。xm由归一化2/02Aeu1AdxeA21222