北京大学量子力学课件-第21讲

第二十一讲I.平均值，本征方程和薛定谔方程的矩阵形式。（1）平均值：力学量在体系（处于态）中的平均值为Lˆrd)r()i,r(Lˆ)r(LˆLˆ*是在中的表示。若包括力学量m,nmnm*naLˆaLˆmaAˆAˆ)Mˆ,Nˆ,Lˆ(mnlmnl,mlnmnlm,n,l*mlna)Lˆ(aLˆ)a(LLˆ2nmmlnllB.对于两个算符乘积的平均值（2）本征方程：算符的本征方程在表象为ψααfααgααψψgfψ)gf(llmmnl,m,nnlmlnml,m,n*nafga)gf(AˆkmmkmaLaL2,1k从而有要方程组有非零解，即不全为，则要求系数行列式为，即0a)LL(mkmmkm2103,2,1k，，或ma000LLkmkm由这求出.然后代入方程组求出相应的（3）薛定谔方程在表象中，基矢为，则HˆtiAˆnLma这即为表象中的薛定谔方程的矩阵形式。若不显含，而表象就是表象，则从而得mmmnnHˆdtdi)t(aH)t(adtdimnmnAˆHˆtAˆHˆnmmnmEHˆ当不显含t，在表象中的表示为tiE0111ea)t(atiE0222ea)t(aHˆHˆtiE02tiE0121eaea，由初态给出（它是时，在表象中表示），由在任一表象中求出。,a,a02010tHˆ21E,EHˆ0EHⅡ.量子态的不同描述波函数和算符不是直接观测量.仅力学量取值，及其几率分布（或几率）是直接观测量。因此，重要的是：①可能取的值②测量取的几率振幅AˆnaAˆna)t(Ct,unnA.薛定谔绘景（SchrodingerPicture）若不显含，则SS0,)0,t(Ut,1)0,0(U)0,t(UHˆ)0,t(UdtdiHˆttHˆie)0,t(U所以，这一变换是一幺正变换而本征方程若不显含，那，也与无关时刻，测量取值的几率振幅为SnnSnSaaaAˆSAˆtnattSAˆna)t(bt,anSnSnaI)0,t(U)0,t(U)0,t(U)0,t(U在薛定谔绘景的描述中，态矢量随t的变化，反映在它的表示随t的变化。而力学量的本征值及本征矢不随t变化。SSSSt,αAˆt,αAˆ2nnn)t(baB.海森堡绘景（HeisenbergPicture）1.态矢量2.算符和本征方程HSt,α)0,t(US0,HnnHnHtaataAˆ)0,t(UAˆ)0,t(UAˆSH本征值相同，基矢随时间演化对易关系保持不变SSSCˆi]Bˆ,Aˆ[)0,t(UCˆ)0,t(iU)0,t(U)AˆBˆBˆAˆ)(0,t(USSSSSHHHCˆi]Bˆ,Aˆ[SnHna)0,t(Uta3.算符随时间变化（运动方程）不显含))0,t(UAˆ)0,t(U(dtddtAˆdSHSAˆ()tdt)0,t(dUAˆ)0,t(U)0,t(UAˆdt)0,t(dUSS)0,t(UAˆ)0,t(UAˆSH这时i)0,t(UHˆAˆ)0,t(U)0,t(UAˆiHˆ)0,t(USSSS)0,t(UHˆ)0,t(UdtdiSi]HˆAˆ[dtAˆdH,HHSHHˆHˆ4.本征矢随t变化SnHna)0,t(Ut,aHn0,a)0,t(USnHnadt)0,t(dUdttad这表明，在H.P.中态矢量不随t变，而相应的本征矢沿一定方向反“转动”HnHHntaHˆdttadiHnHSnSSnSnta0,)0,t(Uat,a)t(b将算符方程用于，i]HˆAˆ[dtAˆdH,HHHxˆHpˆHxHH,HH)pˆ(Hˆi]Hˆxˆ[dtxˆdHHH,HxHxxˆHˆi]Hˆ)pˆ[(dt)pˆ(d例：求H.P.中一维谐振子的坐标算符和动量算符。H22H2xdtxˆdHx22Hx2pˆdtpˆd显然，tsinmpˆtcosxˆ)t(xˆxHtcospˆtsinmxˆ)t()pˆ(xHxi)]t()pˆ(),t(xˆ[HxH但tωsinωm1i)]0(xˆ),t(xˆ[HH0)]t(xˆ),t(xˆ[HH第七章自旋在讨论电子在磁场中的运动时，我们发现电子具有轨道磁矩。如有外场存在，则这一轨道磁矩所带来的附加能量为Lˆm2qˆeL)eq(如在方向BLˆm2eBUeLBzBmBmm2eULBLTJ10273.924B显然是量子化的，它取个值在较强的磁场下（），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好地解释它。但是，当这些原子或离子置入弱磁场~1T的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。U)1l2(T102§7.1电子自旋存在的实验事实（1）Stern-Gerlach实验（1922年）当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如果原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具有磁矩，那在磁场中的附加能量为如果经过的路径上，磁场在Z方向上有梯度即不均匀，则受力cosBBU从经典观点看取值（从）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值所以原子应分布在一个带上。但Stern-Gerlach发现，当一束处于基态的cos11dzdBdzdBdzdBcosUF银原子通过这样的场时，仅发现分裂成二束，即仅二条轨道（两个态）。而人们知道，银原子（）基态，所以没有轨道磁矩.而分成二个状态（二个轨道），表明存在磁矩，这磁矩在任何方向上的投影仅取二个值。只能是电子本身的（核磁矩可忽），这磁矩称为内禀磁矩。与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。（2）电子自旋存在的其他证据A．碱金属光谱的双线结构原子光谱中有一谱线，波长为5893Å。47z0lsNa11但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成ÅÅ这一事实，从电子具有三个自由度是无论如何不能解释。B．反常塞曼效应（AnomalousZeemaneffect）原子序数为奇数的原子，其多重态是偶数，在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶如钠和的两条光谱线，在弱磁场中分裂为条和条。这种现象称为反常塞曼效应。93.5895D195.5889D2z1D2D46C．在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相邻能级间距，并不一定为，而是。对于不同能级，可能不同，而不是简单为(称为因子)。根据这一系列实验事实，G.Uhlenbeck）（乌伦贝克）和S.Goudsmit（古德斯密特）提出假设①电子具有自旋，并且有内禀磁矩，它们有关系B2eB2egDDg1DgeLandgSs②电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值，所以以为单位，则（而）Smees2ezm2eezzmeSem2e2gs1gl现在很清楚，电子自旋的存在可由Dirac提出的电子相对论性理论自然得到。考虑到辐射修正0023192.2)21(2gs§7.2自旋－微观客体的一个动力学变量(1)电子的自旋算符和它的矩阵表示由于电子具有自旋，实验发现，它也具有内禀磁矩Smee假设：自旋算符有三个分量，并满足角动量所具有的对易关系A.对易关系B.由于它在任意方向上的分量测量仅取二个数值，所以SˆkijkjiSi]S,S[2于是是一常数C.矩阵形式由于其分量仅取二个数值，也即本征值仅二22z2y2x41SˆSˆSˆ222)211(2143Sˆ个，所以可用矩阵表示。①若选作为力学量完全集，即取表象，那在自身表象中的表示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值zyxSˆ,Sˆ,Sˆ22zSˆzSzSˆ10012)S(z相应的本征矢其对应的表示为，②在表象中的矩阵表示21,21S,Szssszm,Smm,SSˆ0110yxSˆ,SˆzS我们知道，这只要将作用于的基矢并以基矢展开，从展开系数来获得.由因此yxSˆ,SˆzSˆzSˆSˆ]Sˆ,Sˆ[zszszm,S)Sˆ(Sˆm,SSˆSˆssm,SSˆ)1m(1m,SAm,SSˆss和标积1m,SAm,SSˆsssm,SSˆsm,SSˆSˆm,SSˆm,Sm,SSˆsss2ssAm,SSˆSˆm,Sxyyx2y2xyxyxSˆSˆSˆSˆiSˆSˆ)SˆiSˆ)(SˆiSˆ(SˆSˆ同理可得1m,S)1mS)(mS(m,SSˆssss1m,S)1mS)(mS(m,SSˆssss1m,S)1mS)(mS(1m,S)1mS)(mS((2m,SSˆsssssssx得系数矩阵为转置得212122121Sˆx212122121Sˆx0110201102)Sˆ(x1m,S)1mS)(mS(1m,S)1mS)(mS((2im,SSˆsssssssy21212i2121Sˆy21212i2121Sˆy系数矩阵为转置得对于在方向上的分量为01102i0ii02)Sˆ(ySˆ,zyxnSˆcosSˆsinsinSˆcossinSˆncosesinesincos2Sˆiin2Sn2i1aesinacos1ie2sin2cos21iacos1aesin2Sn2cose2sini则本征矢ie2sin2cos2cose2sini2mn2mn③PauliOperator；为方便起见，引入泡利算符于是，在表象中有（或称Pauli表象）2Sz0110)(x0ii0)(y1001)(z称为泡利矩阵由此得kijkjii2],[12z2y2xxyyx)i2i2(i21xyyx0于是有∴例．求的本征值，本征矢在表象中表示因已知在表象中的矩阵形式为zxyyxyxi22izyxyˆyˆz0ii0ijjiδ2}σ,σ{z所以，在表象中的本征方程要不同时为，系数行列式应为0a]m)[(knksknkyka000miimss1m2s1msyσˆzσˆ对于1ms0aa1ii121ia21a1i1211ms1i21（2）考虑自旋后，状态和力学量的描述A.自旋波函数（电子的自旋态）对于的本征方程为在其自身表象ssszmmmSˆzSˆ