北京大学量子力学课件-第22讲

第二十二讲自旋(1)电子自旋存在的实验事实A.Stern-Gerlach实验（1922年）Stern-Gerlach发现，当一束处于基态的银原子通过这样的场时，发现仅分裂成二束，即仅二条轨道（两个态）。而人们知道，银原子（）基态，所以没有轨道磁矩。而分成二个状态（二个轨道）表明,存在磁矩。这磁矩在任何方向上的投影仅取二个值。这只能是电子本身的，这磁矩称为内禀磁矩。与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。47z0lsB.碱金属光谱的双线结构原子光谱中有一谱线，波长为5893Å。但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成ÅÅNa1193.5895D195.5889D2C.反常塞曼效应（AnomalousZeemaneffect）原子序数为奇数的原子，其多重态是偶数，在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶数条如钠和的两条光谱线。在弱磁场中分裂为条和条。这种现象称为反常塞曼效应。D.在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相邻能级间距，并不一定为，而是。z1D2D46B2eB2egD对于不同能级，可能不同，而不是简单为(被称为因子)。根据这一系列实验事实，G.Uhlenbeck）（乌伦贝克）和S.Goudsmit（古德斯密特）提出假设①电子具有自旋，并且有内禀磁矩，它们有关系Dg1DgeLandgSsSmees②电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值，所以以为单位，则（而）2ezm2eezzmeSem2e2gs1lg现在很清楚，电子自旋的存在可由Dirac提出的电子相对论性理论自然得到。考虑到辐射修正0023192.2)21(2gs(2)自旋－微观客体的一个动力学变量A.电子的自旋算符和它的矩阵表示由于电子具有自旋，实验发现，它也具有内禀磁矩Smees假设：自旋算符有三个分量，并满足角动量所具有的对易关系a.对易关系b.由于它在任意方向上的分量的测量值，仅取二个数值，所以SˆkijkjiSi]S,S[2于是是一常数c.矩阵形式由于其分量仅取二个数值，也即本征值仅二22z2y2x41SˆSˆSˆ222)211(2143Sˆ个，所以可用矩阵表示。ⅰ.若选作为力学量完全集，即取表象，那在自身表象中的表示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值zyxSˆ,Sˆ,Sˆ22zSˆzSzSˆ10012)S(z相应的本征矢其对应的表示为，ⅱ.在表象中的矩阵表示21,21S,Szssszm,Smm,SSˆ0110yxSˆ,SˆzS这只要将作用于的基矢并以基矢展开，从展开系数来获得.由得系数矩阵为转置得yxSˆ,SˆzSˆzSˆ1m,S)1mS)(mS(1m,S)1mS)(mS((2m,SSˆsssssssx01102以及01102)Sˆ(x1m,S)1mS)(mS(1m,S)1mS)(mS((2im,SSˆsssssssy其系数矩阵为转置得对于在方向上的分量为01102i0ii02)Sˆ(ySˆ,nzyxnSˆcosSˆsinsinSˆcossinSˆcosesinesincos2Sˆiin2Snie2sin2cos2Sn2cose2sinid.PauliOperator；为方便起见，引入泡利算符于是，在表象中有（或称Pauli表象）2Sz0110)(x0ii0)(y1001)(z称为泡利矩阵由此得kijkjii2],[12z2y2xijjiδ2}σ,σ{izyx（2）考虑自旋后，状态和力学量的描述A.自旋波函数（电子的自旋态）对于的本征方程为在其自身表象ssszmmmSˆzSˆ10012)S(z而相应本征态的表示为01)21S(21z10)21S(21z是的本征值为的本征态在表象中的表示；是的本征值为的本征态在表象中的表示。显然正交对于任何一旋量在表象中，其表示为2)S(z2)S(zzSˆ2zSzSˆ2zSβ,zS而和可由与标积获得2()2(2121aa212121212121aaaa21a21a,212121aaa)0,1(B.考虑自旋后状态的描述由于电子除了之外，还有第四个动力学变量，它的特点仅取二个值，而。所以，可在表象中表示体系波函数。对处于某状态的体系可按自旋波函数展开。212121aaa)1,0(z,y,xzSˆ0]Sˆ,r[z)Sˆ,r(z这即在表象中表示。如令)t,r(m,rsms)S,r(z)t,2,r(2S,rz)t,2,r(2S,rz则表象中的表示为若是归一化的态矢量，则)S,r(z)t,r(ψ)t,r(ψ)t,2,r(ψ)t,2,r(ψ)ψm,r(2121sβ)t,r(ψα)t,r(ψ2121ssmm,rm,rrds代表体系处于而自旋向上的几率密度代表体系处于而自旋向下的几率密度如同一般变量可分离型一样，当对和是变量可分离型的，则其特解为rd)]t,r()t,r()t,r()t,r([21212121221r221ψrHˆrzSˆ)S()t,r()t,S,r(zzC．考虑自旋后，力学量的表述而在表象中，的表示为Lˆ)S,r(z,2121z)Sˆ,r(2121z)Sˆ,r(而在表象中的表示为所以方程在表象中可表为Lˆ)S,r(z)rr()Pˆ,r(L),Pˆ,r(L)Pˆ,r(L),Pˆ,r(L)S,rLˆS,r(22211211zzLˆ)S,r(zzzzSzS,rS,rrdS,rLˆS,rz)r()r()r()r()Pˆ,r(L),Pˆ,r(L)Pˆ,r(L),Pˆ,r(L21212121222112112S)Sˆ,Pˆ,r(Lˆ2SLziz112S)Sˆ,Pˆ,r(Lˆ2SLziz12直接由在表象中表示来获得表象中的表示2S)Sˆ,Pˆ,r(Lˆ2SLziz212S)Sˆ,Pˆ,r(Lˆ2SLziz22)Sˆ,Pˆ,r(LˆizSˆ)S,r(z例：求算符在表象中的表示sˆr)s,r(zzyxsˆzsˆysˆxsˆrz00z0iyiy00xx0)Pˆ,r(Lˆ),Pˆ,r(Lˆ)Pˆ,r(Lˆ),Pˆ,r(Lˆ22211211对任一算符的平均值为dLˆLˆrdLˆLˆLˆLˆ),(212122211211*21*21rdLˆ2111*21rdLˆ2112*21cosesinesincosrziyxiyxzii例：求在态矢量中的平均值解：在表象中表示rdLˆ2121*21rdLˆ2122*21)i(21yx)S,r(zˆ而0010]0ii0i0110[21)ˆ()r()r()(2121rd)r()r(0010))r(,)r((212121*21rd)r(,)r(21*21（3）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程A.动能项在非相对论极限下，电子的动能为当计及电子的自旋后，波函数是两分量。并注意到2pˆTˆ20Bˆ,ˆAˆ,ˆ)BˆAˆ(ˆiBˆAˆ)Bˆˆ)(Aˆˆ(我们有而置于电磁场中时，则pˆ21pˆTˆ)]Aˆepˆ([21])Aˆepˆ[(Tˆ)Aepˆ()Aepˆ(ˆ2i)Aepˆ(212B.自旋－轨道耦合项由Dirac方程可以证明，当电子在中心力场中运动，哈密顿量（在非相对论极限下）中将出现自旋－轨道耦合项（Thomas项）（核提供的库仑屏敝场和自旋的作用导致），Bˆ2e)AePˆ(212LˆSˆ)r(dr)r(dVr1cm21)r(22eC．电子置于电磁场中的哈密顿量D.处于中心场中的电子，并置于电磁场中的薛定谔方程为)Bˆ(2eLˆSˆ)r()r(Ve)AePˆ(21Hˆ2)Bˆ(eLˆSˆ)r()r(Ve)AePˆ(ti2212应该注意，在表象中，这时是两分量的，即（1，2，3项是对角矩阵）)S,r(z21212121222112112121HHHHti§7.3碱金属的双线结构引进电子自旋后，我们就能够利用量子力学理论来解释原子光谱中的复杂结构及在外电磁场中的现象（1）总角动量A.总角动量引入：当考虑电子具有自旋后电子在中心力场中的Hamiltonian为SˆLˆ)r()r(VPˆ21Hˆ2由于自旋－轨道耦合项，和都不是运动常数.dr)r(dVr1cm21)r(22LˆSˆ]Lˆ,Lˆ[S]Lˆ,Lˆ[S]SˆLˆ,Lˆ[yzyxzxzxyyxSˆLˆiSˆLˆi]Sˆ,Sˆ[Lˆ]Sˆ,Sˆ[Lˆ]SˆLˆ,Sˆ[yzyxzxzxyyxLˆSˆiLˆSˆi因此，()不能构成力学量完全集但即引入而0]SˆLˆ,LˆSˆ[zz0]SˆLˆ,SˆLˆ[SˆLˆJˆkijkjiJˆi]Jˆ,Jˆ[zz2Sˆ,Lˆ,Lˆ,Hˆ由于有心势所以，彼此对易0]SˆLˆ,Jˆ[0]SˆLˆ,Jˆ[20]Lˆ,Jˆ[20]Lˆ,Jˆ[220]Jˆ,Jˆ[20]Jˆ,Hˆ[0]Jˆ,Hˆ[2z22J,Jˆ,Lˆ,Hˆ因此可作为力学量的完全集（如无，可选）B.的共同本征矢的表示（在表象中）)J,J,Lˆ,Hˆ(z22SˆLˆ)Sˆ,Lˆ,Lˆ,Hˆ(zz2)Jˆ,Jˆ,Lˆ(z22zS,,),(),()2,,()2,,()S,,(21z1.它是的本征函数取zJˆ21j21zm)Jˆ(2j1j21z)21m()21m()Lˆ(22j2z11j1z)1m()21m(Lˆm)21m(Lˆ21mmj2．它们是的本征函数因此3．由2Lˆ21212)1l(lLˆ1lmlmzbYaY))S,,(())S,,(())S,,((Jˆz2z2在表象中矩阵表示xxyyzz2222LˆSˆ2LˆSˆ2LˆSˆ2SˆLˆ