北京大学量子力学课件-第31讲

第三十一讲Ⅰ.辐射场下原子的跃迁率当微扰影响较小时，一级近似很好现考虑原子被置于一个纯辐射场中21t0tink12nkdte)t(V1P1nkⅡ.散射问题的一般描述：在散射问题中，能量是给定的。这时关心的是远处的波函数，即解满足一定边条件下的定态波函数。从而能够从这一定态波函数中，获得☆有关靶或组成靶的元素的性质；☆有关入射粒子与靶或组成靶的元素之间的相互作用的性质；☆入射粒子的性质。（1）散射截面定义：一束不宽的（与散射区域比），具有一定能量的粒子，轰击到一个靶上（当然与散射中心尺度比较起来，是宽的）。为简单起见，达到散射中心时，可用一平面波描述。tirkieA.相对通量：单位时间通过与靶相对静止的垂直于传播方向上的单位面积的入射粒子数（对于单粒子，显然即为几率流密度），以表示这时，单位时间，经散射而到达方向中的粒子数为比例常数一般是的函数。它包含入射粒子和靶的相关信息，其量纲为。),(2Ld),(dn),(dddn),(B.散射微分截面：在单位时间内，单个散射中心将入射粒子散射到方向上的单位立体角中的粒子数与入射粒子的相对通量（几率流密度）之比。而散射总截面),(ddn),(d),(总对于固定散射中心，实验室坐标系和质心坐标系是一样的。但如果两个粒子散射，则不一样理论上处理问题一般在质心坐标系（较简单），而实验上常常靶是静止的。所以在比较时，需要将这两个坐标系进行换算。（2）散射振幅：我们现在讨论一种稳定情况，即入射束的粒子不断入射，长时间后体系达到稳定状态的情况薛定谔方程其定态解为当粒子以一定动量入射，经位势散射后，在很大处，解的渐近形式（弹性散射）为)t,r(ti)t,r()]r(V2[22tiEe)r()t,r(krre),(fe)r(ikrrkik这时，被称为定态散射波函数。可以证明的本征方程，在很大时，即保留到次幂时，则tiEkke)r()t,r(Hˆrr1]e),(fr1e[Eikrrkik]e),(fr1e[HˆikrrkikkkEHˆ我们称为散射振幅,为散射波.当入射粒子沿方向入射，则散射与无关（束、靶都是非极化），即),(fre),(fikrz)(f),(f可以证明：在远处，对于渐近解的几率流密度矢于是r22nˆr)(fkkjθμμ22i),(fdkd),(fkdjdn),(φθΩμΩφθμΩφθσ所以，散射振幅的模的平方，即为散射微分截面。而散射总截面为现在问题是要从d),(fd),()k(2TE)r(V222出发，求具有很远处的渐近形式为的解，从而获得Ⅲ.玻恩近似φre),(feikrrki),(),(f理现在讨论如何近似求，以至。假设产生一个散射（对自由粒子）。根据Fermi’sGoldenRule，从开始为动量本征态跃迁到末态动量本征态跃迁率为由此可以推出散射微分截面)(f)()r(VP'P)E()r(V2w2P'P'PP称为散射振幅的一级玻恩近似2/r)pp(i22rde)r(V2m)(rde)r(V2m)(f/r)pp(i2)1(当位势为有心势则或)r(V)r(V02)1(prdr)qrsin()r(Vqm2)(fθ0)1(prdr)qrsin()r(Uq1)(frVm2rU2这即为有心势下的一级玻恩近似的散射振幅。为方向由于一级玻恩近似是处理位势作为自由粒子的一个微扰。所以一级玻恩近似适用于高能的情况。2sink2qkz（3）有心势中的分波法和相移当位势是有心势时，粒子在中心力场作用下，角动量是运动常数（散射前后）。因此，入射波和被散射的波可由角动量本征态叠加而成，而每一个波（本征态）分别被位势散射，彼此互不相干。A．相移和散射截面当入射粒子方向取为轴，则入射（无自旋）是对对称，即与无关.而相互作用势是各向同性。因此，经作用后也与无关（在方向）代入方程得kz)r(V)r(V0l0llk),(Yr)r(kz其渐近解，在时满足0)r()r(U)r(k)r(r)1l(l)r(drdll2l2l22)r(Vm2)r(U222mE2kr0)r(k)r(drdl2l22所以，在有心势存在时，具有确定（在方向）的解为)Bkrsin(A)r(llrl)2lkrsin(Allkz002llllk),(Yr)lkrsin(A当位势不存在时，解为而0l0likrillikrill),(Y]reeAi2ireeAi2)i([ll),(Y)kr(ji)1l2(4e0l0llikzlkr)2lkrsin()kr(j)1l(lkr,rl与比较入射波应相同，即球面入射波系数应相等),(Y]reki2)1()1l2(4reki2)1l2(4[e0l0likrlikrikzk0l0likrillikrill),(Y]reeAi2ireeAi2)i([llkk0l0likrillikrill),(Y]reeAi2ireeAi2)i([lllilleki)1l2(4Aki2)1()1l2(4eAi2ililll显然，对每一个分波，它们都是一个入射球面波和一个出射球面波（同强度）的叠加。但定态散射解中的出射波和平面波的出射波差－相因子。这表明：散射位势的效应是使每一个出射分波有一相移，相应的相因子为。),(Y]reki2)1()1l2(4reeki2)1l2(4[0l0likrlikri2rkl大时lli2elli2e),(Y]}reki2)1()1l2(4reki2)1l2(4[re)1e(ki2)1l2(4{0likrlikr0likri2rkl大时re),(Y])1e(ki2)1l2(4[eikr0l0li2ikzl当粒子以一定动量入射，经有心势散射后，在很大处，解的渐近形式（弹性散射）为（在方向）所以，散射振幅krre)(fe)r(ikrikzkkz散射微分截面),(Y)1e(i21l2k4)(f0li20lkl),(Ysine1l2k40lli0ll*0'l0l'll)(i0'll2kYYsinsine)1'l2)(1l2(k4)('ll散射总截面其中每一项d)(kTl20l2Tsin)1l2(k4δπσl22sin)1l2(k4代表相应的角动量为的分波对散射截面的贡献。当（），达极大。因l)1l2(k42l)21n(l,2,1,0n41l2),0(Y0l所以于是有这称为光学定理。)0(fIk4kmT),0(Ysine1l2k40f0lli0lklli0lsine1l2k1lB．一些讨论1．分波法的适用性a.中心力场b.不为的数要少，即或对的收敛很快才行若相互作用力程为，处于分波的粒子，其运动区域l0)(Tl0rl即满足如果，则表明，这一分波不能进入相互作用的力程内，也即在力程之外。所以，很小时，仅分波受影响，即仅，或很小，即低能散射)1l(lkr)1l(lkr00r0r1,0l0,10km2kmr2)1l(l22222．相移符号：自由粒子为有位势时为前者波节在后者)2ln(k1r0n)2ln(k1rl0n)2lkrsin()2lkrsin(l排斥势是将粒子向外推，所以应大，即而对吸引势。例：方位阱散射（一维）ax0ax0V0x)x(V0nr0l0lxa)kxsin(BaxxksinAx)x(00020)EV(m2'k2mE2k在a点波函数及其导数连续)kasin(Ba'ksinA)kacos(kBa'kcosA'k)kacot(ka'kcot'ksinkacoscoskasinsinkasincoskacosk所以在给定下，依赖于能量（或）1cotkatankatancotkkatana'kcotk'k1a'kcotk'kkatancota,V0Ek（4）全同粒子的散射A．对称微分截面和反对称微分截面在讨论自旋一章时，我们讨论了全同粒子的对称性。我们知道，对于两个全同费米子（自旋为半整数）的波函数，必须反对称（自旋，坐标同时交换）。而对于二个全同玻色子体系波函数必须对称。当二个具有自旋为s的粒子，如在总自旋表象中，总自旋波函数的对称性为)S,S(z2zS,S