北京大学量子力学课件-第16讲

第十六讲第十六讲Ⅰ.球方势阱：考虑位势为Var0)r(V令arV)(0lmRYu令lmRYu0)(R])1l(l1[)(Rd2)(Rd20)(R])(1[)(Rd)(Rd22ρρρρρρρ0ar02mE2kkr22kkrA.0VE0)(R])1l(l1[)(Rdd2)(Rdd222)(][)(d)(d22ar202)EV(m2riκρ则有ar)ri(c)ri(jcar)kr(jA)r(Rl2l1lklar)ri(c)ri(jcl2l1当,波函数在无穷远处应为0rl1Bcl2iBcar)ri(hB)r(R)(ll1ill)(e)d())(i(h11ll)(l)d())(i(h1要求两区域的波函数及其导数在处连ar续，即)1(l)ri(hlnd)k(jldlarldr)ri(hlnddr)kr(jlnd从而确定E的可能值即本征值arar从而确定E的可能值，即本征值。当，则有0lkkrsin)kr(j0kr)(j0er)1(reh)1(0令，，则由连续条件kaaξξηcot以及2022amV22022amV2显然，在二，四象限。ξV22讨论：1）由图可知，，则无解；2)amV2(212202解；2）当，则仅有一23)amV2(221220个解这时即kakr0个解。这时,即。ka2kr0所以,在区间无节点。3）当a03）当25)amV2(2321220，有二个解个解无零点222k有二个解:一个解，无零点；ka23另一个解。所以，2ka23,有一个零点。22kr0,有个零点。正交归一，可经由方程给出),(Y)rk(j])ak(j)ak(ja2[),,r(ulmlnl21l2ll1l3lmnrr当这时)ak(j)ak(jaln2lln1lrrVar当，，这时区域的波函数为0。由连续条件，0Var，即有根0)ak(jlnlr（）。lnlrakxll321n（）。akxlnlnrr,3,2,1nrB.时令0VE令21)mE2(k210])VE(m2[k212)(k21201])([k有解ar)kr(jARlklkl0ar)]rk()k(sin)rk(j)k([cosBRlllllk111111所以当时有连续谱所以，当时，有一连续谱。由的连续条件0VEar由的连续条件1ll1lll)rk(sin)rk(jconlnd)kr(jlndar1ll1llarldr)rk(sin)rk(jconlnddr)kr(jlnd则有)k()k(k)ak(j)ak(jk)k(tg1ll1l11l)ak()ak(k)(g1ll1l11l这时有渐近解r])k(S[1)2lrksin(R)2lrk(i)2lrk(il111]e)k(Se[r~rk2~R21l21lk1)k(i21l1le)k(S而自由粒子为]ee[1~R)2lkr(i)2lkr(ikl]ee[r~RklⅡ.氢原子：）两体问题的质心运动的分离（1）两体问题的质心运动的分离质量为m1和m2的两个物体，若相互作用质量为m1和m2的两个物体，若相互作用仅与它们的位置差有关。)rr(V)r,r(V2121这时，22)rr(Vm2pm2pˆHˆ212221m2m221引入质心运动和相对运动21rrr2211rmrmR212211mmR于是有R21ippPR2121mmM2121i)pp(μp21mmr21i)mm(μp21mmi]p,x[21rrxi]P,R[于是有，rR22HˆHˆ)r(VpˆPˆHˆrRHH)r(V2M2H令为一特解，得)r(u)R()r,R()r,R(E)r,R(Hˆ)R()EE()R(HˆrR/RPi23e)2(1)R()2(pˆ2)r(uE)r(u))r(Vp(rrErE2（2）氢原子：相互作用只与质子和电子的距离r有关e)(VHˆ22222r42)r(V2H022)r(Eu)r(u))r(V2(22)()())(μ2(llllY)r(YR)r(ulmlmnlYrYR)r(u0)r(r4e2)r(E2)r(r)1l(l)r(drdl22l2l2l22r4rdr0要求为束缚态，则E0。令r)E8(21r)(2121e2222E2aE84020于是0)(1)()()1l(l)(d20)(4)()()()(dlll2l2令)(ve)(l211ll代入方程得)(ve)(ll代入方程得0v)1l(v])1l(2[vlll这是一合流超比方程0vv][v它有解和),,(F),2,1(F1称为合流超比函数),,(F为使，，必须为负整数。r0)(l于是有解211l)2l2(F)(21lrle),2l2,n(cF)(1l)321n(当给定1lnnr),3,2,1n(当n给定1n,3,2,1,0nr从而得0,2n,1nlr从而得lmnlnlmYR),,r(ulmnlnlmYR),,r(ul)!ln(n12212123lmnrlnY),l,n(Fe)!l(])!ln(n)!ln([)na(n22121122221230r2rna0n2,1n,2,1,0l22nna8eE00na8*讨论1）氢原子能谱和简并度1）氢原子能谱和简并度2eE对于定（）值的能级20nna8E1l对于一定n（）值的能级有1lnnr,1n,2,1,0l有一条能级对应的独立波函数为,,,,010221212nlnnnn)n()l(d02l一条能级有重简并，且宇称可不同.2）径向位置几率分布2n2）径向位置几率分布由波函数可得的几率为drrr率2lm2nl2nlΩdYRdrrdrPΩlmnlnld22无节点drrR22nl10l)0(，无节点；，无节点1n0l)0n(r2n1l)0n(r，无节点2n1l)0n(r有一个节点0l)1n(r1nl1220),l,(F0nar1n0na1n1nnerR0nar2n2eArP2这与玻尔轨道相同0n21nneArP20maxnar这与玻尔轨道相同3)几率密度随角度的变化：2lm22nlmdYdrrud0lmnlmddud)(在方向的单位立体角中，发现粒子的几率为),(几率为22412)](cosP[)!ml()!ml(lY)(wmllmlm4)!ml(1l2)0(P1l2YY)(l*l41l2)0(cosP41l2YY)(wllmlmlmlmlm4）电流分布和磁矩（电流的几率分布）根据几率流密度矢根据几率流密度矢i**)uuuu(ij*nlmnlmnlm*nlm21eeeφθrφθsinreθrereφθr电流密度为（几率电流密度矢）。其分量jeJ其分量（由于是实函数）0ejJrrnlR（由于是实函数）0ejJ)θ(cosPml)uθi1uuθi1u(2ieejJ*nlmnlmnlm*nlmφφ)φθsinrφθsinr(μ2jnlmnlmnlmnlmφφ2em2nlmusinrem几率电流密度矢仅在方向上有，且大小对对称因此通过截面的环电流元为ed对对称。因此，通过截面的环电流元为dduemdI2ldusinrdInlm环电流产生的磁矩duemsinrSdIdM2l22duemsinrSdIdMnlmz（为环体积）dume2nlmd（为环体积）dum2nlmdmm2eMBz2焦耳忒斯拉称为玻尔磁子24e焦耳/忒斯拉，称为玻尔磁子。24B10273.92e由于电子空间运动（处于态），氢原nlmu子的磁矩是量子化的eMlzzg2eLM称为轨道回磁比如取为单位z2e1gl称为轨道回磁比。如取为单位，。这是电子轨道运动产生的磁矩特征。21gl5）的平均值（如氢原子处于态）srnlmu0ra]s)1l2[(sra)1s2(r1s2s20221s0s20ra]s)1l2[(4ra)1s2(rn002其中drrRrr22nlss101122,,1r0021anr2032an)1l2(r（5）类氢离子：类氢离子是核中有z个质子，外面仅有个电子如BLiH外面仅有一个电子：如Be,Li,He24只要，并代，而22zee220ze4a而zeeNmmeNmm2ze20nan8zeE0an8§5.2Hellmann－Feynman定理（海尔曼－费曼定理）费曼定理）若(中含有的某一参)(HˆHˆHˆ是(量)，其本征态(已归一)，本征值)(是)(un)(En)λ(u)λ(E)λ(u)λ(Hˆnnn于是有)(E))(u)(Hˆ),(u(nnn))(),((nn证：)(u)(E)(u)(Hˆ)(u)(E)(u)(Hnnn)()(E)()(Hˆ)(u)(E)(u)(E)(u)(Hˆ)(u)(Hnnnnnn所以，)(uˆ)(Hˆ))(u)(Hˆ),(u())(u)(H),(u(nnnn))(u)(E),(u())(u)(E),(u(nnnnnn))()(())()((nnnn)(uˆ)(Hˆ))(u),(u)(Hˆ())(u)(H),(u(nnnn))(u),(u)((E))(u)(Hˆ),(u(nnnnn)),()(())(),((nnnn))(u)(u)((E)(Enn)),(u)((Enn例：对类氢离子，其能级能量为4ze)r(V2例对类氢离子其能级能为r4022ez)(E200nna8)z(E试求21r,r若将z看作2r4ezHˆ222n4zez)z(Er4z0200na4z22nlm2nlmze)u4e,u(200nlm0nlmna4)r4,(2211zr220anna对球坐标lmnlnlmYRunlm222222nlmu)ze)1l(lrd1(uHˆnlm022nlmu)r4r2rdrr2(uH这时可将l看作参量λ2ˆ22r2)1l2(lHˆr2l2ze22r0nze])1ln(a8ze[)l(E30na4ll322211ze2r32302na)21l(na