专题一-数列求和(1)分组求和法

例1：已知数列{an}①若an=2n+3,求Sn.,求Sn.32nna②若所谓特殊数列，指的就是等差数列或等比数列；对于特殊数列求和，采用公式直接求和即可。2)1(2)(11dnnnaaanSnn11)1(111qqqaqnaSnn必须记住几个常见数列前n项和等比数列：等差数列：例2.求下列数列的前n项和（1）111112,4,6,,248162nn222221112(),(),,()nnxxxxxxSn=a1+a2+a3+……+an=（b1+c1）+（b2+c2）+（b3+c3）+……+（bn+cn）=（b1+b2+b3+……+bn）+（c1+c2+c3+……++cn）2.分组求和法：若数列{an}的通项可转化为an=bn+cn的形式，且数列{bn}，{cn}可求出前n项和。解（1）该数列的通项公式为1122nnan11111246(2)48162nnsn1111(2462)()482nn111(22)421212nnn111(1)22nnn22211(2)()2nnnnnaxxxx1x当时，1nx当时，S242242111()()2nnxxxnxxx242242111(2)(2)(2)nnnSxxxxxx22222(1)(1)2(1)nnnxxnxx24nnnnnS22222211(1)(1)2111nnxxxxnxx222224(1)(1)(1)2(1)(1)nnnnnxSxxnxxx2112nnSaaan练习：（）求2112nnSaaan解：212naaann当a=1时S，12nnn21122nn0,n当a1S时，1112naannan当a=0时S，12nn课本P61T4(1)122235435235nnSn解：122423555nn111(22)5531215nnnn51143)1n(n122235435235nnSn求课本P61T4(2)例3、求数列1,1+2,1+2+22,……,1+2+22+……+2n-1的和。解：数列的通项an=1+2+22+……+2n=2n-13、通项化归法：先找出复杂数列的通项公式，从通项的特点选择求和方法。变式训练、求和：9＋99＋999＋……＋999…99。n个解：原式＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1)＝(10＋102＋…＋10n)－n＝10（10n－1）10－1－n＝109(10n－1)－n.S=1+1+2+1+2+22+……+1+2+22+……+2n=（21-1）+（22-1）+（23-1）+……+（2n-1）=21+22+23+……+2n-n=-n1-21-n2例4、1-22+32-42+52-62+……+(2n-1)2-(2n)2=？4.并项求和：局部重组转化为常见数列,适合正负交错的数列，即{(-1)nbn}型。解：Sn=(12-22)+(32-42)+……+［(2n-1)2-（2n)2］=-3-7-…-(2n-1)=-3-7-11-……-（4n-1）=-2n2-n分析：练习：已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),（1)求S20,S21（2)求Sn解:(1)S20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39S21=-1+3+(-5)+7+(-9)+……+39+(-41)=20=-1+(-2)×10=-21(2)当n=2k(k∈Z)时，Sn=(1-3)+(5-7)+……+[(2n-3)-(2n-1)]=k×(-2)=-n.当n=2k-1(k∈Z）时，Sn=1+[(-3)+5]+[(-7)+9]+……+[-(2n-3)+(2n-1)]=1+（k-1）×2=n.所以Sn=n(n为奇数）-n(n为偶数）。求和的思路：1.转化为等差或等比数列的求和;3.通项化归法求和:先看通项（怎样的类型）,或把通项公式先变形化简。2.拆项分组求和法;4.并项求和法。