奥数基础-一次函数(含解答)-

-1-一次函数内容讲解1．一次函数：形如y=kx+b（k≠0，k，b为常数）的函数．注意：（1）k≠0，否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数．2．图象：一次函数的图象是一条直线．（1）两个常用的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-bk，0）；（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行．3．性质：（1）图象的位置：-2-（2）增减性：k0时，y随x增大而增大，k0时，y随x增大而减小．4．求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种（1）由已知函数推导或推证．（2）由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系．（3）用待定系数法求函数解析式．“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：①利用一次函数的定义1xx的指数的系数0构造方程组；②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b为定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k为定方向；③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程；④利用题目已知条件直接构造方程．待定系数法的主要步骤，简单地说可划为“设”、“列”、“解”三大步．“设”即设未知系数，“列”即列方程或方程组；“解”即解方程或方程组．-3-例题剖析例1（2006年“信利杯”全国初中数学竞赛（广西赛区））已知直线L经过（2，0）和（0，4），把直线L沿x轴的反方向向左平移2个单位，得到直线L′，则直线L′的解析式为_______．分析：先求出直线解析式y=kx+b，再抓住平移k不变，进行求解．解：因为过（2，0）和（0，4）的直线L解析式是y=-2x+4，设向左平移2个单位得到的直线L′解析式是y=-2x+m，将它与x轴的交点坐标（0，0）代入得m=0，所以直线L′的解析式为y=-2x．评注：直线y=kx+b平移时k值不变，上下平移时再抓住与y轴的交点变化，左右平移时再抓住与x轴的交点变化就能得解．例2（2000年全国初中数学竞赛试题）一个一次函数图象与直线y=54x+954平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（-1，-25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（）．（A）4个（B）5个（C）6个（D）7个分析：根据所求一次函数图象与直线y=54x+954平行且过点（-1，-25），即可确定该函数的解析式，然后采用列举法进行分析．解：设与直线y=54x+954平行的直线的方程为y=54x+k，又（-1，-25）在直线y=54x+k上，得k=-954．-4-因为A、B为y=54x-与x轴、y轴的交点，所以A（19，0），B（0，-954）．又y=54x-954=54（x-19），0≤x≤19，x-19必须是4的整数倍，只有当x=3，7，11，15，19时，y为整数，因此在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有5个，选B．评注：所谓横坐标、纵坐标都是整数的点，即求该函数解析式（二元一次方程）在某范围内的整数解．例3（2005年富阳市初二数学竞赛）不论k为何值，解析式（2k-1）x-（k+3）y-（k-11）=0表示的函数的图象经过一定点，则这个定点是_______．分析：该题是“直线束”问题，可在k的取值范围内取两个定值两条特殊直线求得交点，再证明其他直线必过此点．解：因为已知函数是一次函数，故k+3≠0，分别令k=1与k=2，得41003590xyxy解得23xy,即两特殊直线相交于点A（2，3），而当x=2时，函数式为2（2k-1）-（k+3）y-（k-11）=0．整理得（k+3）y=3（k+3），所以k取不等于-3的任何值时，y=3．当x=2时，必得y=3．不论k为何值该一次函数的图象恒过定点（2，3）．评注：利用“不论”性，取k的任意两个特殊值，代入函数关系式，求出x、y的值，再验证所求得的x、y值适合函数关系式，从而确定函数图象恒过定点，-5-这是解决这类问题常用的方法．此外本题还可利用一次方程ax=b有无数解的条件来解，同学们不妨一试．例4（2005年富阳市初二数学竞赛）在一次函数y=-x+3的图象上取一点P，作PA⊥x轴，垂足为A，作PB⊥y轴，垂足为B，且矩形OAPB的面积为94，则这样的点P共有（）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个分析：设点P的坐标为（x，-x+3），则矩形OAPB的面积表示为│x│×│-（-x+3）│=│x2-3x│=94，然后分两种情况进行讨论．解：选（B）．评注：本题通过数形互动，结合一元二次方程实根个数来确定符合条件的点的个数，这是解决这类问题常用方法．此外，由点的坐标表示距离时，不能忘记加绝对值．例5（2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）设0k1，关于x的一次函数y=kx+1k（1-x），当1≤x≤2时的最大值是（）（A）k（B）2k-1k（C）1k（D）k+1k分析：y=（k-1k）x+1k，∵0k1，∴k-1k=(1)(1)kkk0，该一次函数的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，最大值为k-1k+1k=k．解：选（A）．-6-评注：对于自变量有限范围的一次函数极值问题，应结合一次函数的增减性来确定．例6（2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）设直线y=kx+k-1和直线y=（k+1）x+k（k是正整数）与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1+S2+S3+…+S2006的值是_______．分析：先求出直线y=kx+k-1和直线y=（k+1）x+k的交点，再求出这两条直线与x轴围成的三角形面积Sk的表达式．解：因为方程组1(1)ykxkykxk的解为11.xy所以这两直线的交点（-1，-1），直线y=kx+k-1和直线y=（k+1）x+k（k是正整数）与x轴的交点分别是（1,0),(1kkkk，0），Sk=12|-1|×|11kkkk|=12|1k-11k|．所以S1+S2+S3+…S2006=12（1-12+12-13+13-14+…[phone])(1)20062007220072007．-7-评注：本题在求解过程中的关键是：将1(1)kk拆成1k-11k，这是常用技巧．例7（1997年江苏省初中数学竞赛试题）有一个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的．设从某时该开始5min内只进水不出水，在随后的15min内既进水又出水，得到时间x（min）与水量y（L）之间的关系如图．若20min后只放水不进水，则这时（x≥20时）y与x的函数关系是________．分析：据图象可知：开始5min，只进水不出水，共进了20L水，每分钟进水4L．随后的15min内既进水又出水，实际水量增加了35-20=15L，每分钟水量增加1L，说明出水管每分钟出水3L．因为水量是固定的，每分钟3L，所以20min后，总水量为35L．解：y=35-3（x-20），即y=-3x+95（20≤x≤953）．评注：仔细审题，观察图象，应弄清进水时，每分钟4L；既进又放时，每分钟净增水1L，故每分钟放水为3L，这是解本题的关键．例8（2006年全国初中数学竞赛（海南赛区））在平面直角坐标系中，已知A（2，-2），点P是y轴上一点，则使AOP为等腰三角形的点P有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个-8-分析：分三种情况来讨论，即：如图所示，①以O为顶点的等腰三角形有：△OP1A，△OP2A；②以A为顶点的等腰三角形是△OP3A；③以P为顶点的等腰三角形是△OP4A．因此，满足条件的点P有4个．解：选（D）．评注：分类讨论是重要的数学思想方法，竞赛题中经常出现需要分类的考题，这类问题的求解，既要有扎实的基础知识，也要有一定的分析问题和综合解决问题的能力，要强化这方面的训练．例9（2005年宁波市蛟川杯初二数学竞赛）某个游泳池有2个进水口和一个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图（1）所示，出水口的出水量与时间的关系如图（2）所示，某天早上5点到10点，该游泳池的蓄水量与时间的关系如图（3）所示．-9-在下面的论断中：①5点到6点，打开进水口，关闭出水口；②6点到8点，同时关闭两个进水口和一个出水口；③8点到9点，关闭两个进水口，打开出水口；④10点到11点，同时打开两个进水口和一个出水口．可能正确的是（）（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④分析：由图1知每个进水口每小时进水量为1m3，由图2知每个出水口每小时出水量为2m3，根据图3，①5点到6点，打开进水口，关闭出水口，时间1小时2个进水口进水量为2m3，蓄水量应为6m3，而不是5m3，故①错误；②6点到6点，同时关闭两个进水口和一个出水口，水位没有变化，故②正确；③8点到9点，关闭两个进水口，打开出水口，时间1小时1个出水口出水量为2m3，蓄水量应为3m3，而不是4m3，故③错误；④10点到11点，同时打开两个进水口和一个出水口，进水量正好等于出水量，水位没有变化，故④正确．解：②④正确，应选（D）．评注：本题采用逐项分析法，予以一一排除，对于多论断判断选择型问题应用此法，常能迎刃而解．-10-例10（2006年四川省数学竞赛初二初赛试题）平面直角坐标系内有A（2，-1），B（3，3）两点，点P是y轴上一动点，求P到A、B距离之和最小时的坐标．分析：根据几何模型，得出点A关于y轴对称点A′的坐标，再由待定系数法求出直线A′B解析式，就可得解．解：如图，点A关于y轴对称的点为A′（-2，-1），设过A′、B两点的直线的一次函数为y=kx+b，有1233kbkb解得4535kb∴y=45x+35．当x=0时，y=35，即直线A′B与y轴交于点（0，35），可得所求点P的坐标为（0，35）．-11-评注：本题把几何中最短距离问题代数化，解题关键是应用轴对称和一次函数相关知识来求解．此类问题还可改为在x轴上或在坐标轴上求一点P，同学们不妨思考一下．例11（江苏省第二十届初中数学竞赛试题）某仓储系统有20条输入传送带，20条输出传送带．某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图（a），每条输出传送带每小时出库的货物流量如图（b），而该日仓库中原有货物8吨，在0时至5时，仓库中货物存量变化情况如图（c），则在0时至2时有多少条输入传送带和输出传送带在工作？在4时至5时有多少条输入传送带和输出传送带在工作？分析：由图（a）知每条输入传送带每小时进库的货物流量是13吨，由图（b）知每条输出传送带每小时出库的货物流量是15吨，再结合图（c）捕捉相关信息进行求解．解：设在0时至2时内有x条输入传送带和y条输出传送带在工作，则由图（c）得13x-15y=1282=2，解这个不定方程得x=14，y=12；所以在0时至2时内有14条输入传送带和12条输出传送带在工作；同理在4时至5时内有6条输入传送带和6条输出传送带在工作．-12-评注：解决此类问题关键是正确识别图象（折线），从中发现，挖掘变量与不变量、变量与变量间的联系，进而建立适合题意的不定方程，将问题转化为研究我们所熟悉的不定方程整数解．例12（2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售出A，B两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A款式和B款式服装，甲店铺获毛利润分别为30元和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36元．某日王老师进货A款式