2018-2019学年江苏省海安高级中学高二下学期期中考试数学试题-Word版

-1-江苏省海安高级中学2018-2019学年度第二学期期中考试高二数学试卷参考公式：样本数据12,,,nxxx的方差211()niisxxn2，其中11=niixxn.棱柱的体积VSh，其中S是棱柱的底面积，h是高.棱锥的体积13VSh，其中S是棱锥的底面积，h是高.一、填空题1．设全集{|2,}UxxxN≥，集合2{|5,}AxxxN≥，则ACU=▲．2．已知i是虚数单位，复数(12i)(i)a是纯虚数，则实数a的值为▲．3.已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(4，2)，则k＋α＝▲．4．如图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为▲．5．甲、乙两人下棋，已知甲获胜的概率为0.3，且两人下成和棋的概率为0.5，则乙不输的概率为▲．6．执行如图所示的伪代码，输出的结果是▲.1SForIFrom1To5Step2SSIEndForPrintSEnd7．已知双曲线C：22221(0,0xyabab）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的焦距为▲．7984446793（第4题图）xyy011π24y05π24O（第8题图）-2-8．若函数sin()(0)yx的部分图象如图所示，则的值为▲．9．设实数x，y满足条件01,02,21,xyyx≤≤≤≤≥则|343|xy的最大值为▲．10.三棱锥BCDA中，E是AC的中点，F在AD上，且FDAF2，若三棱锥BEFA的体积是2，则四棱锥ECDFB的体积为▲．11.已知四边形ABCD中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，P为线段AC上任意一点，则PBPC的取值范围是▲．12．若cos2cos()3，则tan()6▲．13.某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞▲个.14.若正数m，n满足121122nmnmmn，则36mn的最小值是▲．二、解答题15.已知函数f(x)＝(sinx＋3cosx)∙(cosx－3sinx)．（1）求函数f(x)的周期；（2）若f(x0)＝65，x0∈2,0，求cos2x0的值．16．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为A1B1，B1C1的中点，点F在侧棱BB1上，且BDAF，ACAB.求证：（1）直线DE∥平面ACF；（2）平面BDE⊥平面ACF.17．已知正项数列{an}首项为2，其前n项和为Sn，满足2Sn－Sn-1＝4(n∈N*，n≥2)．A1ABCC1B1EFD-3-（1）求2a,3a的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设212lognnba(n∈N*)，数列{bn·bn＋2}的前n项和为Tn，求证：Tn34.18.如图，A，B两点相距2千米，6BAC．甲从A点以v千米/小时的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻乙出发，经过t小时与甲相遇．（1）若v=12千米/小时，乙从B处出发匀速直线追赶，为保证在15分钟内（含15分钟）能与甲相遇，试求乙速度的最小值；（2）若乙先从A处沿射线AB方向以16千米/小时匀速行进m(0＜m＜t)小时后，再以8千米/小时的速度追赶甲，试求甲在能与乙相遇的条件下v的最大值．19.设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1，（1）若圆M满足条件①②，圆心在第一象限，且到x轴，y轴距离相等，求圆M的标准方程；（2）设圆N与直线152x相切，与满足（1）的圆M外切，且圆心在直线x=1上，求圆ACB30°-4-N的标准方程；（3）在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程．20．已知函数ln()xfxx，e为自然对数的底数.（1）求函数()fx的定义域和单调区间；（2）试比较21ex与e21x的大小，其中12x；（3）设函数22()()2agxxfxxx，0ea，求证：函数()gx存在唯一的极值点t，且31()2egt.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）数学附加题21．已知矩阵A＝ba11，A的一个特征值λ＝2，其对应的一个特征向量是α1＝12（1）求矩阵A；（2）设直线l在矩阵A－1对应的变换作用下得到了直线m：x－y＝4，求直线l的方程．22．已知直线l的极坐标方程为θ4(R)，它与曲线12cos22sinxCy：,(为参数)相交于AB，两点,求AB的长.-5-23.某课题小组共10人，已知该小组外出参加交流活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人外出参加交流活动次数之和为4”为事件A，求事件A发生的概率；（2）设X为选出2人参加交流活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．24．已知2条直线将一个平面最多分成4部分，3条直线将一个平面最多分成7部分，4条直线将一个平面最多分成11部分，；n条直线将一个平面最多分成012nnnCCC个部分(1n)（1）试猜想：n个平面最多将空间分成多少个部分(2n)?（2）试证明（1）中猜想的结论.-6-1.22.-23.324.85.5.0.76.107.48．=49．14[]10．1011.944，12.3313.714.2315.解：(1)f(x)＝(sinx＋3cosx)(cosx－3sinx)＝sinxcosx－3sin2x＋3cos2x－3sinxcosx＝－2sinxcosx＋3cos2x＝－sin2x＋3cos2x＝2sin2x＋2π3，周期T=2=2．(2)f(x0)＝2sin2x0＋2π3＝65，∴sin2x0＋2π3＝35，-7-又x0∈0，π2，2x0＋2π3∈2π3，5π3，∴sin2x0＋2π30，∴cos2x0＋2π3＝－45，∴cos2x0＝cos2x0＋2π3－2π3＝cos2x0＋2π3cos2π3＋sin2x0＋2π3sin2π3＝－45×－12＋35×32＝4＋3310.16.证明：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC∥A1C1，在三角形A1B1C1中，D，E分别为A1B1，B1C1的中点，所以DE∥A1C1，于是DE∥AC，又因为DE平面ACF，AC平面ACF，所以直线DE∥平面ACF；（2）在直三棱柱111ABCABC中，1AAABC平面因为AC平面ABC，所以1AAAC，又因为111111ACABAAABBAABABBAABAAA，平面，平面，，所以AC平面11ABBA.因为BD平面11ABBA，所以ACBD.又因为BDAFACACFAFACFACAFA，平面，平面，，所以BDACF平面.因为直线BDBDE平面，所以平面BDE⊥平面ACF.17.解：(1)2=1a,31=2a;(2)由2Sn－Sn-1＝4，得2Sn-1－Sn-2＝4(n∈N*，n≥3)，解得112nnaa＝(n∈N*，n≥3)，又2112aa＝，所以数列{an}是首项为2，公比为12的等比数列．-8-故-1-211222nnna＝.(3)证明：因为bn＝12－log2an＝12－2－n＝1n，所以bnbn＋2＝1nn＋2＝121n－1n＋2.故数列{}bnbn＋2的前n项和Tn＝121－13＋12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n－1－1n＋1＋1n－1n＋2＝121＋12－1n＋1－1n＋2＝1232－1n＋1－1n＋2＝34－121n＋1＋1n＋234.18.解：（1）设乙速度为x千米/小时，由题意可知(xt)2＝22＋(12t)2－2×2×12tcos30°，整理得x2＝4t2－243t＋144＝(2t－63)2＋36.由于0＜t≤14，所以2t≥8，所以，当2t＝63即t＝39时，x2取得最小值36，即x最小值为6.答：乙速度的最小值为6千米/小时.（2）由题意知[8(t－m)]2＝(16m)2＋(vt)2－2×16m×vtcos30°，两边同除以t2得：192(mt)2＋(128－163v)mt＋v2－64＝0设mt＝k，0＜k＜1，则有192k2＋(128－163v)k＋v2－64＝0，其中k∈(0，1)，即关于k的方程192k2＋(128－163v)k＋v2－64＝0在(0，1)上有解，则必有△＝(128－163v)2－4×192×(v2－64)≥0，解得0＜v≤1633，当v＝1633时，可得k＝13∈(0，1)，因此v为最大值为1633.答：甲的最大速度为1633千米/小时.ACB30°-9-19.解：（1）设圆心为Pab，，半径为r．则P到到x轴，y轴距离分别为∣b∣和∣a∣．由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为2，故圆截x轴所得弦长为2r．所以222rb，又圆截y轴所得弦长为2．所以221ra，故2212ab又因为圆心在第一象限，且到x轴，y轴距离相等，则212abr，，则所求圆的标准方程为22112xy；（2）2211328xy；（3）由（1）知：2212ab，又因为P圆心到直线l：x－2y=0的距离为：25abd，所以222222222252444221dabababababba≥，当且仅当a=b时取“=”号，此时min55d．此时11ab或11ab，22r.故所求圆的标准方程为22112xy或22+1+12xy.20.解：（1）函数的定义域为，，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以函数的单调递增区间为单调递减区间为；（2）因为，，要比较与的大小，即比较与大小，由（1）知，当，即时，=；当，即且时，；（3）,-10-，令，当x≥e时，x0，当0xe时，由（1）知在区间上为增函数，又，，故存在唯一的，使得，即，且.当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以因为，所以在单调递减，故.21.解：(1)因为Aα1＝1a－1b21＝2＋a－2＋b，λα1＝221＝42，[]所以2＋a＝4，－2＋b＝2，解得a＝2，b＝4，故A＝12－14.(2)设直线m：x－y＝4上的任意一点(x，y)在矩阵A对应的变换作用下得到点(x′，y′)，则x′y′＝12－14xy＝x＋2y－x＋4y，所以x′＝x＋2y，y′＝－x＋4y，所以x＝2x′－y′3，y＝x′＋y′6.因为x－y＝4，所以x′－y′＝8，所以直线l的方程为x－y－8＝0.22.解：极坐标方程为4(R)的直角坐标方程为yx,曲线12cos:22sinxCy,(为参数)的直角坐标方程为22(1)(2)4xy所以圆心(1,2)到直线yx的距离12222d所以124142AB.23.解：（1）由已知有：P(A)=C31C41+C32C102=13,-11-所以事件A发生的概率为13.（2）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2P(X=0)=C32+C32+C42C102=415；P(X=1)=C31C31+C31C41C102=715；P(X=2)=C31C41C102=415.所以随机变量X的分布列为1.154215711540E(X)24．解：（1）猜想：n个平面最多将空间分成0123nnnnC