2014年同方专转本高数模拟试卷5

1江苏省2014年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（五）高等数学注意事项：1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前得字母填在题后的括号内）。1、设0lim2(2)xxfx，则0(3)limsinxfxx（）A.34B.3C.14D.432、设21(1)arctan1()101xxfxxx（）A．()fx在点1x处连续，在点1x处间断B.()fx在点1,1xx处都连续C.()fx在点1x处间断，在点1x处连续D.()fx在点1,1xx处都间断3、设函数0()sin20axexfxbxx在0x处可导，则常数,ab的值为（）A．1,2abB.2,1abC.2,1abD.2,1ab4、设()xfxe，则(ln)fxdxx（）A.lnxcB.lnxcC.1cxD.1cx5、设1,2ab，且(,)4ab，则ab（）A．1B.12C.2D.526、若级数0(2)nnnax在03x处收敛，则级数在6x处（）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与na有关二、填空题7、123lim()6xxxx8、设0()3fx，则000()(3)limhfxhfxhh9、设函数2121()txxtedt，则()x10、设ln(1)xzy，则(1,2)dz11、交换二重积分2120(,)yydyfxydx12、微分方程21xyy的通解为三、计算题13、求极限20(1)2(1)limsinxxxxeexx314、设函数()yyx由方程组2323sin10yxttety所确定的函数，求0tdydx15、求不定积分23xedx16、计算定积分322111dxxx417、求过直线32102320xyzxyz且与平面235xyz垂直的平面方程。18、设2(,)xzxfyexy，其中f具有二阶连续偏导数，求2zxy19、计算二重积分()Dxydxdy，其中D是由21,,2yyxxx及x轴所围成的平面区域。520、求微分方程323xyyye的通解四、综合题21、设函数32()85fxxxx（1）求函数()fx的单调区间与极值；（2）求函数()fx在4,2上的最大值与最小值；（3）求曲线()fx的凹凸区间及拐点；622、平面图形1D由曲线yx，直线yk(01)k及y轴所围成，平面图形2D由曲线yx，直线yk(01)k及1x所围成。（1）求k的值，是平面图形1D与2D的面积之和为最小；（2）对应于（1）中求得的k值，求平面图形1D与2D绕x轴旋转一周所得的旋转体体积1V与2V。五、证明题23、证明：当01x时，21sin12xexx24、设()fx在0,1上连续，且(0)(1)ff，证明：至少存在一点(0,1)，使1()()2ff7江苏省2014年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（五）解析高等数学一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前得字母填在题后的括号内）。2、设0lim2(2)xxfx，则0(3)limsinxfxx（）B.34B.3C.14D.43解析：0lim2(2)xxfx，30232lim23(2)2xxxf即04lim(3)3xxfx0(3)3lim4xfxx，则00(3)(3)3limlimsin4xxfxfxxx本题选A2、设21(1)arctan1()101xxfxxx（）A．()fx在点1x处连续，在点1x处间断B.()fx在点1,1xx处都连续C.()fx在点1x处间断，在点1x处连续D.()fx在点1,1xx处都间断解析：2112111lim()lim[(1)arctan]2121lim()lim[(1)arctan]2()12xxxxfxxxfxxx所以，1x是()fx的跳跃间断点，()fx在点1x处间断；2(1)(1)2(1)(1)1lim()lim[(1)arctan]011lim()lim[(1)arctan]01xxxxfxxxfxxx8以上两等式成立，是因为1x时，(1)0x，且21arctan1x是有界量，因无穷小量乘以有界量仍然是无穷小量，故[(1)0][(1)0]0(0)fff从而，()fx在点1x处连续。3、设函数0()sin20axexfxbxx在0x处可导，则常数,ab的值为（）A．1,2abB.2,1abC.2,1abD.2,1ab解析：本题是考察分段函数在分段点的可导性，对于分段函数分段点左右两边表达式互不相同的函数，需要分左右可导性讨论，函数中有两个未知常数，需列出两个方程求解。根据可导必连续的性质，可列出另外的等式。()fx在0x处可导，从而()fx在0x处必连续。0(00)lim1axxfe；0(00)lim(sin2)xfbxb由(00)(00)(0)fff可得1b()fx在0x处可导，可得00()(0)1(0)limlim00axxxfxfefaxx00()(0)1sin21(0)limlim200xxfxfxfxx由(0)(0)ff可得2a本题选B4、设()xfxe，则(ln)fxdxx（）A.lnxcB.lnxcC.1cxD.1cx9解析：1lnln1(ln)xxfxeex，则2(ln)11fxdxdxcxxx本题选D5、设1,2ab，且(,)4ab，则ab（）A．1B.12C.2D.5解析：该题考察向量的点乘的性质，关于向量的点乘和叉乘，有些性质是常用的2aaacosabababba对于该题222()()abababaabbab22222cos1212cos(2)54aabb本题选D6、若级数0(2)nnnax在03x处收敛，则级数在6x处（）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与na有关解析：级数0(2)nnnax在03x处收敛，则区间(7,3)一定在收敛区间内，6x在该区间内，在收敛区间内的点都是绝对收敛。只有收敛区间的区间端点才有可能条件收敛或是发散。本题选C二、填空题7、123lim()6xxxx解析：(3)16111362(3)222236333lim()lim()lim[1()]lim[1()]6666xxxxxxxxxxxxexxxx8、设0()3fx，则000()(3)limhfxhfxhh10解析：00000000()(3)()()()(3)limlimhhfxhfxhfxhfxfxfxhhh0000000()()[(3)]()lim3lim4()(3)hhfxhfxfxhfxfxhh9、设函数2121()txxtedt，则()x解析：222122(1)23(1)1()()(1)(1)(22)txxxxtedtxexxxe10、设ln(1)xzy，则(1,2)dz解析：zzdzdxdyxy；(1,2)(1,2)(1,2)111()31xzxxxyxyy，(1,2)(1,2)(1,2)(1,2)211()()31yzxyxxxyyxyyxyy(1,2)1133dzdxdy11、交换二重积分2120(,)yydyfxydx解析：201:2yDyxy将积分区域使用x型积分区域表示1201:0xDyx2212:02xDyx2221212200010(,)(,)(,)yxxydyfxydxdxfxydydxfxydy12、微分方程21xyy的通解为11解析：原方程可整理为21dyydxxx，方程是一阶线性微分方程。此处2()Pxx，1()Qxx2222211[()][]2dxdxdxdxxxxxcyeQxedxceedxcxx三、计算题13、求极限20(1)2(1)limsinxxxxeexx解析：232000(1)2(1)(1)2(1)12limlimlimsin3xxxxxxxxxxxeexeeexeexxxx20011limlim366xxxxxxxxeeexeexx14、设函数()yyx由方程组2323sin10yxttety所确定的函数，求0tdydx解析：dydydtydxdxdt；62dxtdt函数sin10yety两边关于t求导，可得sincos0yyeytety解得cos1sinyydyetydtet从而coscos1sin62(1sin)(62)yyyyetdydyetdtetydxdxtettdt由sin10yety，可解得(0)1y从而00000coscos1sin62(1sin)(62)2yyytttttyetdydyetedtetydxdxtettdt1215、求不定积分23xedx解析：令23xt，则21(3)2xt，dxtdt原积分变为ttttttetdttdeteedtteec232323xxxeec16、计算定积分322111dxxx解析：令tanxt，则2secdxtdt3233322222144411seccossectansectansin1ttdxtdtdtdtttttxx324123sin2sin3dtt17、求过直线32102320xyzxyz且与平面235xyz垂直的平面方程。解析：过直线32102320xyzxyz的平面方程为平面束321(232)0xyzxyz即(32)(1)(32)(21)0xyz该平面与平面235xyz垂直，则两平面法向量垂直(32)2(1)1(32)30，解得114所求平面方程为1321(232)014xyzxyz整理即得401331160xyz1318、设2(,)xzxfyexy，其中f具有二阶连续偏导数，求2zxy。解析：该题型是几乎每年必考。需要认真掌握。212[()()]xxxzfxfyefxyx212[]xfxfyeyf2zxy221212[()]()()()xxyyyyfxeyfyffxeyfxyf21122()[()][2()]xyyyfxefyfxyfyf21211112[()()][(2