2018高考文科数学复习平面向量

数学F单元平面向量F1平面向量的概念及其线性运算4．A2，F1[2016·北京卷]设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．D[解析]若|a|＝|b|成立，则以a，b为边组成的平行四边形为菱形，a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为边组成的平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故选D.13．F1、F3[2016·江苏卷]如图1­3，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA→·CA→＝4，BF→·CF→＝－1，则BE→·CE→的值是________．图1­313.78[解析]设BD→＝a，DF→＝b，则由题意得BA→＝a＋3b，CA→＝－a＋3b，BF→＝a＋b，CF→＝－a＋b，BE→＝a＋2b，CE→＝－a＋2b，所以BA→·CA→＝9b2－a2＝4，BF→·CF→＝b2－a2＝－1，解得b2＝58，a2＝138，于是BE→·CE→＝4b2－a2＝78.14．F1，K2[2016·上海卷]如图1­2所示，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1(1，0)．任取不同的两点Ai，Aj，点P满足OP→＋OAi→＋OAj→＝0，则点P落在第一象限的概率是________．图1­214.528[解析]共有C28＝28(个)基本事件，其中使点P落在第一象限的基本事件共有C23＋2＝5(个)，故所求概率为528.F2平面向量基本定理及向量坐标运算F3平面向量的数量积及应用13．F1、F3[2016·江苏卷]如图1­3，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA→·CA→＝4，BF→·CF→＝－1，则BE→·CE→的值是________．图1­313.78[解析]设BD→＝a，DF→＝b，则由题意得BA→＝a＋3b，CA→＝－a＋3b，BF→＝a＋b，CF→＝－a＋b，BE→＝a＋2b，CE→＝－a＋2b，所以BA→·CA→＝9b2－a2＝4，BF→·CF→＝b2－a2＝－1，解得b2＝58，a2＝138，于是BE→·CE→＝4b2－a2＝78.13．F3[2016·全国卷Ⅰ]设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________．13．－2[解析]由已知条件，得a·b＝0，即m＋2＝0，即m＝－2.3．F3[2016·全国卷Ⅲ]已知向量BA→＝（12，32），BC→＝（32，12），则∠ABC＝()A．30°B．45°C．60°D．120°3．A[解析]cos∠ABC＝BA→·BC→|BA→||BC→|＝12×12＋32×32＝32，又∠ABC∈[0°，180°]，∴∠ABC＝30°.3．F3[2016·全国卷Ⅱ]已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()A．－8B．－6C．6D．83．D[解析]a＋b＝(4，m－2)，∵(a＋b)⊥b，∴(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8.8．F3[2016·山东卷]已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A．4B．－4C.94D．－948．B[解析]由4|m|＝3|n|，可设|m|＝3，|n|＝4.又∵n⊥(tm＋n)，cos〈m，n〉＝13，∴n·(tm＋n)＝0，即t×4×3×13＋16＝0，解得t＝－4.15．F3[2016·浙江卷]已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b的最大值是________．15.12[解析]由|(a＋b)·e|≤|a·e|＋|b·e|≤6，得|a＋b|≤6，即|a|2＋|b|2＋2a·b≤6，所以a·b≤12，故a·b的最大值为12.12．C4，F3[2016·上海卷]在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，－1)，P是曲线y＝1－x2上一个动点，则BP→·BA→的取值范围是________．12．[0，1＋2][解析]由题意得y＝1－x2表示以原点为圆心，1为半径的上半圆，设P(cosα，sinα)，α∈[0，π]，则BA→＝(1，1)，BP→＝(cosα，sinα＋1)，所以BP→·BA→＝cosα＋sinα＋1＝2sin(α＋π4)＋1，因为α∈[0，π]，所以0≤BP→·BA→≤1＋2.21．H6，H8，F3[2016·上海卷]双曲线x2－y2b2＝1(b0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．(1)若l的倾斜角为π2，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b＝3，若l的斜率存在，且(F1A→＋F1B→)·AB→＝0，求l的斜率．21．解：(1)设A(xA，yA)，F2(c，0)，c＝1＋b2，由题意，y2A＝b2(c2－1)＝b4，因为△F1AB是等边三角形，所以2c＝3|yA|，即4(1＋b2)＝3b4，解得b2＝2.故双曲线的渐近线方程为y＝±2x.(2)由已知，F1(－2，0)，F2(2，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝k(x－2)，显然k≠0.由x2－y23＝1，y＝k（x－2），得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.因为l与双曲线交于两点，所以k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)0.设AB的中点为M(xM，yM)．由(F1A→＋F1B→)·AB→＝0，即F1M→·AB→＝0，知F1M⊥AB，故kF1M·k＝－1.又xM＝x1＋x22＝2k2k2－3，yM＝k(xM－2)＝6kk2－3，所以kF1M＝3k2k2－3，所以3k2k2－3·k＝－1，得k2＝35，故l的斜率为±155.F4单元综合10．F4[2016·四川卷]在平面内，定点A，B，C，D满足|DA→|＝|DB→|＝|DC→|，DA→·DB→＝DB→·DC→＝DC→·DA→＝－2，动点P，M满足|AP→|＝1，PM→＝MC→，则|BM→|2的最大值是()A.434B.494C.37＋634D.37＋233410．B[解析]方法一：由题意，因为|DA→|＝|DB→|＝|DC→|，所以D到A，B，C三点的距离相等，D是△ABC的外心．DA→·DB→＝DB→·DC→＝DC→·DA→＝－2⇒DA→·DB→－DB→·DC→＝DB→·(DA→－DC→)＝DB→·CA→＝0，所以DB⊥AC.同理可得，DA⊥BC，DC⊥AB，从而D是△ABC的垂心，所以△ABC的外心与垂心重合，因此△ABC是正三角形，且D是△ABC的中心，所以DA→·DB→＝|DA→||DB→|cos∠ADB＝|DA→||DB→|×－12＝－2⇒|DA→|＝2，所以正三角形ABC的边长为23.以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(3，－3)，C(3，3)，D(2，0)．由|AP→|＝1，设P点的坐标为(cosθ，sinθ)，其中θ∈[0，2π)．由PM→＝MC→，可知M是PC的中点，所以M的坐标为3＋cosθ2，3＋sinθ2，则|BM→|2＝cosθ－322＋33＋sinθ22＝37＋12sinθ－π64≤37＋124＝494，当θ＝23π时，|BM→|2取得最大值494.方法二：由|DA→|＝|DB→|＝|DC→|可知D为△ABC的外心，再根据DA→·DB→＝DB→·DC→＝DC→·DA→＝－2，得∠ADB＝∠BDC＝∠CDA＝120°，于是△ABC为正三角形，且边长为23.设AC的中点为T，则|BT→|＝3，由条件知BM→＝12(BP→＋BC→)＝12(BA→＋AP→＋BC→)＝12(2BT→＋AP→)＝BT→＋12AP→，所以|BM→|2＝BT→＋12AP→2＝|BT→|2＋14|AP→|2＋BT→·AP→＝|BT→|2＋14|AP→|2＋|BT→||AP→|cos〈BT→，AP→〉≤9＋14＋3×1×1＝494，当且仅当〈BT→，AP→〉＝0°，即BT→与AP→同向时等号成立．7．F4[2016·天津卷]已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF→·BC→的值为()A．－58B.18C.14D.1187．B[解析]BC→＝AC→－AB→，AF→＝AD→＋DF→＝12AB→＋32DE→＝12AB→＋34AC→，∴BC→·AF→＝(AC→－AB→)·（12AB→＋34AC→）＝12×1×1×12－12＋34－34×1×1×12＝14＋34－12－38＝18.6．[2016·南阳期末]在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，AN→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的值为()A.12B.13C.14D．16．A[解析]AM→＝2AN→＝2λAB→＋2μAC→，由于B，C，M三点共线，故2λ＋2μ＝1，所以λ＋μ＝12.4．[2016·济宁期末]在△ABC中，G是△ABC的重心，边AB，AC的长分别为2，1，∠BAC＝60°，则AG→·BG→＝()A．－89B．－109C.5－39D．－5－394．A[解析]由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，得BC＝3，∠ACB＝90°.以C为坐标原点，CB→，CA→的方向分别为x轴，y轴的正方向建立直角坐标系，则A(0，1)，B(3，0)，所以重心G33，13，所以AG→＝33，－23，BG→＝－233，13，所以AG→·BG→＝33，－23·－233，13＝－89.7．[2016·福州质检]在△ABC中，BC＝2，A＝45°，B为锐角，点O是△ABC外接圆的圆心，则OA→·BC→的取值范围是()A.(－2，22]B.(－22，2]C．[－22，22]D.(－2，2)7．A[解析]由题意得AB＝22sinC，AC＝22sinB，取BC的中点D，连接OD，AD，则OD⊥BC，所以OA→·BC→＝(OD→－AD→)·BC→＝－AD→·BC→＝－12(AB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝12(AB→2－AC→2)＝4sin2C－4sin2B＝2cos2B－2cos2C＝2cos2B－2cos(270°－2B)＝2cos2B＋2sin2B＝22sin(2B＋45°)．又45°2B＋45°225°，所以－22sin(2B＋45°)≤1，所以－2OA→·BC→≤22.