中考数学100道压轴题归类-【几何综合题】(含答案)

1/932019年北京中考数学满分必刷100道压轴题几何综合题中考专项训练本文档试题为2017--2018年北京十三区一模、二模试题《几何综合题》汇编，共31到题。2/931.已知△ABC中，AD是BAC的平分线，且AD=AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H．（1）如图1，若60BAC①直接写出B和ACB的度数；②若AB=2，求AC和AH的长；（2）如图2，用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明．3/931.（1）①75B，45ACB；--------------------2分②作DE⊥AC交AC于点E.Rt△ADE中，由30DAC，AD=2可得DE=1，AE3.Rt△CDE中，由45ACD，DE=1，可得EC=1.∴AC31.Rt△ACH中，由30DAC，可得AH332；--------------4分（2）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC证明：延长AB和CH交于点F，取BF中点G，连接GH.易证△ACH≌△AFH.∴ACAF,HCHF.∴GHBC∥.∵ABAD，∴ABDADB.∴AGHAHG.∴AGAH.∴2222ABACABAFABBFABBGAGAH.--------------7分4/932．正方形ABCD的边长为2，将射线AB绕点A顺时针旋转，所得射线与线段BD交于点M，作CEAM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．（1）如图，当045时，①依题意补全图．②用等式表示NCE与BAM之间的数量关系：__________．（2）当4590时，探究NCE与BAM之间的数量关系并加以证明．（3）当090时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF长的最大值．5/932、（1）①补全的图形如图所示：②2NCEBAM．（2）1902MCEBAM，连接CM，DAMDCM，DAQECQ，∴2NCEMCEDAQ，∴12DCMNCE，∵BAMBCM，90BCMDCM，∴1902NCEBAM．（3）∵90CEA，∴点E在以AC为直径的圆上，∴max12EFFOr．6/933、如图，已知60AOB，点P为射线OA上的一个动点，过点P作PEOB，交OB于点E，点D在AOB内，且满足DPAOPE，6DPPE.（1）当DPPE时，求DE的长；（2）在点P的运动过程中，请判断是否存在一个定点M，使得DMME的值不变？并证明你的判断.7/933、解：（1）作PF⊥DE交DE于F.∵PE⊥BO，60AOB，∴30OPE.∴30DPAOPE.∴120EPD.……………1分∵DPPE,6DPPE,∴30PDE,3PDPE.∴3cos3032DFPD.∴233DEDF.………………3分（2）当M点在射线OA上且满足23OM时，DMME的值不变，始终为1.理由如下：………………4分当点P与点M不重合时，延长EP到K使得PKPD.∵,DPAOPEOPEKPA,∴KPADPA.∴KPMDPM.∵PKPD,PM是公共边,∴KPM△≌DPM△.∴MKMD.………………5分作ML⊥OE于L,MN⊥EK于N.∵23,60MOMOL，∴sin603MLMO.………………6分∵PE⊥BO,ML⊥OE,MN⊥EK，∴四边形MNEL为矩形.∴3ENML.∵6EKPEPKPEPD,∴ENNK.∵MN⊥EK,∴MKME.∴MEMKMD,即1DMME.当点P与点M重合时，由上过程可知结论成立.……………7分8/934．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，过点C在△ABC外作射线CE，且∠BCE=，点B关于CE的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M，N.（1）依题意补全图形；（2）当=30°时，直接写出∠CMA的度数；（3）当0°45°时，用等式表示线段AM，CN之间的数量关系，并证明．9/934．解：（1）如图；…………………1分（2）45°；…………………2分（3）结论：AM=2CN．…………………3分证明：作AG⊥EC的延长线于点G．∵点B与点D关于CE对称，∴CE是BD的垂直平分线．∴CB=CD．∴∠1=∠2=．∵CA=CB，∴CA=CD．∴∠3=∠CAD．∵∠4=90°，∴∠3=12（180°∠ACD）=12（180°90°）=45°．∴∠5=∠2+∠3=+45°-=45°．…………………5分∵∠4=90°，CE是BD的垂直平分线，∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°．∴∠6=∠7．∵AG⊥EC，∴∠G=90°=∠8．∴在△BCN和△CAG中，∠8=∠G，∠7=∠6，BC=CA，∴△BCN≌△CAG．∴CN=AG．∵Rt△AMG中，∠G=90°，∠5=45°，∴AM=2AG．∴AM=2CN．…………………7分（其他证法相应给分.）10/935．在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．（1）依题意补全图1；（2）①连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：2222DPDQAB；②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为：．11/935．（1）补全图形如图1.…………………1分图1（2）①证明：连接BD，如图2，∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，∴AQAP，90QAP°．∵四边形ABCD是正方形，∴ADAB，90DAB°．∴12．∴△ADQ≌△ABP．…………………3分∴DQBP，3Q．∵在RtQAP中，90QQPA°，∴390BPDQPA°．∵在RtBPD中，222DPBPBD，又∵DQBP，222BDAB，∴2222DPDQAB．…………………5分②BPAB．…………………7分证明：过点A作AE⊥PQ于E，连接BEAC∴AE是△PAQ的垂线∵三△PAQ是等腰直角三角形（已证）∴AE是等腰直角三角形PAQ的垂线，角平分线∴∠AEP=90°，AE=PE∵正方形ABCD∴∠ABC=90°∠ACB=∠BAC=45°∠AEP+∠ABC=180°∴A，B，C，E四点共圆∴∠AEB=∠ACB=45°，∠CEB=∠BAC=45°∴∠AEB=∠CEB=45°∵BE=BE∴△ABE≌△PBE(SAS)∴BP=AB图212/936.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），连接CE，将∠ACE的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD于点F，G.（1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明．13/936.（1）补全的图形如图所示.……………………………………1分（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC=30°.……………………………………………2分∴∠AGC=30°.∴∠AFC=α+30°.…………………………3分（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系为CGAFAE3.证明：作CH⊥AG于点H.由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.∴CA=CG.…………………………………………………5分∴HG=21AG.∵∠ACE=∠GCF，∠CAE=∠CGF，∴△ACE≌△GCF.……………………………6分∴AE=FG.在Rt△HCG中，.23cosCGCGHCGHG∴AG=3CG.…………………………………………7分即AF+AE=3CG.14/937．如图，抛物线)0(2acbxaxy的顶点为M，直线y=m与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶．(1)由定义知，取AB中点N，连结MN，MN与AB的关系是(2)抛物线221xy对应的准蝶形必经过B(m，m),则m=，对应的碟宽AB是(3)抛物线)0(3542aaaxy对应的碟宽在x轴上，且AB=6.①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（px，py），使得∠APB为锐角，若有，请求出py的取值范围.若没有，请说明理由.,备用图15/937.解：(1)MN与AB的关系是MN⊥AB，MN=21AB…………………………………2′（2）m=2对应的碟宽是4…………………………………4′(3)①由已知，抛物线必过（3，0），代入)0(3542aaaxy得，03549aa31a∴抛物线的解析式是3312xy…………………………………5′②由①知，3312xy的对称轴上P（0，3），P（0，-3）时，∠APB为直角，∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P，使得∠APB为锐角，py的取值范围是33ppyy或…………………………………7′16/938.如图，在△ABC中，AB=AC，2A，点D是BC的中点，DEABE于点，DFACF于点.（1）EDB_________°；（用含的式子表示）（2）作射线DM与边AB交于点M，射线DM绕点D顺时针旋转1802，与AC边交于点N．①根据条件补全图形；②写出DM与DN的数量关系并证明；③用等式表示线段BMCN、与BC之间的数量关系，（用含的锐角三角函数表示）并写出解题思路.17/938．（1）EDB……………………………………………1分（2）①补全图形正确……………………………………2分②数量关系：DMDN…………………………………3分∵,ABACBDDC∴DA平分BAC∵DEABE于点，DFACF于点∴DEDF，MEDNFD……………………4分∵2A∴1802EDF∵1802MDN∴MDENDF∴MDENDF△≌△……………………5分∴DMDN③数量关系：sinBMCNBC……………………6分证明思路：a.由MDENDF△≌△可得EMFNb.由ABAC可得BC,进而通过BDECDF△≌△,可得BECF进而得到2BEBMCNc.过BDERt△可得sinBEBD,最终得到sinBMCNBC……………7分18/939．如图，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，F是AB边上一点，作射线CF，过点B作BG⊥CF于点G，连接AG．（1）求证：∠ABG=∠ACF；（2）用等式表示线段CG，AG，BG之间的等量关系，并证明．19/939.（1）证明:∵∠CAB=90°.∵BG⊥CF于点G，∴∠BGF=∠CAB=90°.∵∠GFB=∠CFA.………………………………………………1分∴∠ABG=∠ACF.………………………………………………2分（2）CG=2AG+BG.…………………………………………………3分证明：在CG上截取CH=BG，连接AH，…………………………4分∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=90°，AB=AC.∵∠ABG=∠ACH.∴△ABG≌△ACH.……………………………………………………5分∴AG=AH,∠GAB=∠HAC.∴∠GAH=90°.∴222AGAHGH.∴GH=2AG.………………………………………………………6分∴CG=CH+GH=2AG+BG.………………………………………7分20/9310．在△ABC中，