完善了菲涅耳的衍射积分公式

光的衍射是光的波动性的主要标志之一。历史上最早成功地运用波动光学原理解释光的衍射现象的是菲涅耳（1918年）。他把惠更斯在17世纪提出的惠更斯原理用干涉理论加以补充，发展成为惠更斯——菲涅耳原理，从而完善地解释了光的衍射。要解决光波经小孔之类的衍射问题，应根据边值条件解波动方程。基尔霍夫运用数学上的格林公式成功地解决了这个问题，完善了菲涅耳的衍射积分公式，得出了菲涅耳——基尔霍夫衍射公式，建标量波衍射理论。过去的物理光学书中，均将衍射分为菲涅耳衍射和夫朗禾费衍射，认为菲涅耳衍射和夫朗禾费衍射之间是由量变到质变的关系。为此还引入了所谓的傍轴条件和远场条件，这种解释是很牵强的。最近（1999年3月）在JOSA上发表的一篇文章（参考文献[8]）从理论上严格地论述了菲涅耳衍射和夫朗禾费衍射的本质区别及两者的联系。第三章光的衍射§3－1菲涅耳——基尔霍夫衍射公式菲涅耳——基尔霍夫衍射公式：（3－1）公式中各符号的物理意义如图3－1所示。R——点光源发出的球面波在衍射孔处的半径；r——在衍射孔中球面波上任一点至接收屏上任一点的距离；b——衍射孔至接收屏的距离；∑——衍射孔的面积；A——点光源发出的球面波在衍射孔处的振幅。称为倾斜因子（3－2）——衍射孔面上任一点处的法线和入射波矢的夹角；——衍射孔面上任一点处的法线和直线的夹角。drikrRikRKiAEp)exp()exp()(~R)(K2coscos)(21K12四、光的偏振光的干涉和衍射说明了光的波动性，光的偏振进一步证实光是横波。产生偏振的原因是介质的折射率发生突变或是各向异性。第一章已讲到光波在界面折、反射时，产生偏振的现象（布儒斯特角），这就是折射率突变发生偏振的例子。当光波在各向异性均匀介质（晶体）中传播时，由麦克斯韦方程组得出的光矢量具有偏振光性质。光的偏振现象在科学技术中有着重要的应用。§4－1偏振光和自然光麦克斯韦的电磁理论阐明了光波是一种横波，即光矢量垂直于传播方向。若光矢量的振动方向在传播过程中方向始终不变，只是它的大小随位相变化，这种光称线偏振光。线偏振光是一种特殊的偏振光。此外，还有圆偏振光和椭圆偏振光。圆偏振光的特点是：在传播过程中，光矢量方向绕传播轴均匀地转动，端点轨迹是一个圆。椭圆偏振光的光矢量的大小和方向在传播过程中均发生有规律的变化，光矢量端点沿着一个椭圆轨迹转动。从普通光源发出的光不是偏振光，而是自然光。自然光可以看作是具有一切可能的振动方向的许多光波的总和，即在观察时间内，光矢量在各个方向的振动几率和大小相同。自然光可以用两个光矢量互相垂直、大小相同、相位无关联的线偏振光表示，但不能将这两相位没有关联的光矢量合成为一个稳定的偏振光。RSZoRPbZXQrYoY图3－1菲涅耳——基尔霍夫衍射公式表示当一点光源发出的球面波遇到了障碍物（如一圆孔），在接收屏上就不会象自由传播那样得到均匀一片的照度。因为接收屏处的光矢量表达式已不再是标准球面波的形式。接收屏上任一点的复振幅应按（3－1）式计算。它是衍射孔处的波面上各点发出的子波的干涉叠加的结果。应指出，倾斜因子和及的位置有关，积分起来很复杂。但在小孔比较小，点距中心也比较小时，特别是衍射孔处为会聚球面波时，和很小，可提到积分号外，使计算变得简单。下面无论在讨论圆孔衍射还是矩孔衍射时，均是这样处理的。§3－2圆孔衍射§3－2圆孔衍射圆孔衍射是轴对称的。故参考文献[8]在运用菲涅耳——基尔霍夫衍射公式推导接收屏上的复振幅及光强分布时，采用的是圆柱坐标系。此时（3－1）式变为：（3－3）积分后得：（3－4）其中，（3—5）表示自由传播时，接收屏上中心点处的复振幅（平面波）；（发散球面波）；（会聚球面波）20022)cosexp()2exp()]2(exp[~dbqikdqqbMikRbbbRikiAEap1220)2()()]1(exp[~~nnnpaNJaiMMaiMNEE)](exp[~0bRikbRAERbRM1MRbRMρSaPobRaPPmPPmρRabSPmmm00ρm（a）（b）（c）图3－2的物理意义如图3－2所示。由点光源发出的光束若按直线传播，经衍射孔边缘的光线到达接收屏上点，表示点至接收屏中心的距离和衍射孔半径的比值，即（3－7）（3－8）为接收屏上任一点至中心点的距离。为衍射孔上任一点至衍射孔中心距离。则为阶贝塞耳(Bessel)函数。若令（3－9）（3－10）aMmbaN21)exp()2()(~nnniBaNJaiMB1)2()(nnnaNJaiMB则点光强为：（3－11）式中a)b）图3－3由于贝塞耳函数是常用的特殊函数（目前一些计算机软件中均有此函数），所以按上面公式计算接收屏上的光强分布很方便。02~~IBEEIppp00~~EEIo53.230.40.00.217.740.035.490.60.8I1.070.6988.72r0.60.500.20.411.521.40.811.21.61.8IρIo__ρMa在没有得出上面公式以前，人们在计算菲涅耳衍射的光强分布时，采用的是数值积分法。图3－3（a）就是由数学积分法得出的菲涅耳波带数时光强分布曲线（见参考文献[16]）。（b）为按上述公式计算的光强分布曲线。两者完全相同。证明参考文献[8]的理论是正确的。应指出，在编计算程序时，n的取值随菲涅耳波带数而定，越大，n的取值应越大。表3－1列出不同的对应的值。表3－1由表3－1可以看出，当比较小时，如，计算很简单，（3－4）变为：（3－12）即（3－13）4MNFrMNFrrF2.0123456810n11018263442506886rFMNFr2.0rF)2()()]1(exp[~~1220aNJaiMMaiMNEEp)2()(~1aNJaiMB菲涅耳衍射与夫朗禾费射上面给出的光矢量及光强解析表达式为一通用公式。在推导过程中，由于r和b相差很小，故在分子中用b代替了r。这即一些物理光学书中说的傍轴条件。实际上引入傍轴条件并没有什么太大的意义，它只对各干涉光束的振幅起作用。由光波叠加原理得知，不同振幅的光波干涉叠加只影响干涉条纹的对比度，何况一般r和b相差很小，振幅变化并不大。实际上认为倾斜因子也是基于这种设想。下面讨论所谓的远场条件，一些物光书中将公式（3－3）中位相的二次项满足下述条件（3－14）称为远场条件，认为此时这样公式（3－3）式中就没有了位相的二次项，积分变得简单，称之为夫朗禾费衍射。而不满足（3－14）的条件则为菲涅耳衍射。这种定义，使人很费解。似乎菲涅耳衍射和夫朗禾费衍射的区别只是量的差别。这无论在数学上还是在物理上均是不严谨的。1)(K22222qbMqbMk1)0exp()2exp(2qbMik那么，菲涅耳衍射和夫朗禾费衍射的本质区别是什么？它们之间又有什么联系呢？由（3－3）式的位相二次项可以看出欲使，只有或。⑴的条件平面波衍射，，接收屏位于无限远，。⑵的条件会聚球面波衍射时，若接收屏垂直通过该面球心，则，。因此，可以得出结论：菲涅耳衍射是普遍现象。夫朗禾费衍射是菲涅耳衍射的特例。只有两种情况才能发生夫朗禾费衍射，即平面波衍射且接收屏位于无限远，这是无法实现的；另一种情况是会聚球面波衍射，接收屏垂直通过波面球心。这种情况经常遇到，因为成像光学系统的接收器件如分划板、照相底片、CCD器件等均位于成像面上，接收器件上接收的均是夫朗禾费衍射光强。所以虽然夫朗禾费衍射是特殊情况，但对成像光学系统却是普遍的，夫朗禾费衍射对光学仪器具有重要的现实意义。三、菲涅耳数的物理意义一些文献，特别是论述激光原理的书中，定义为菲涅耳数。顾名思义它表示菲涅耳波带数。但这只适用于平面波衍射。对于球面波衍射，具有通用意义的菲涅耳数应为：（3－15）当平面波衍射时，，。0)2/(2qbikMb0Mb1Mb0MbR0MMNFr1MNFr比如一望远镜或照相物镜，其焦平面处，为夫朗禾费衍射，菲涅耳波带数为零。这是因为对于理想光学系统，焦点位于球面波的球心上。焦前或焦后则为菲涅耳衍射，这时非常小，尽管很大，菲涅耳数仍很小。所以，此时只考虑是没有意义的，必须讨论才能正确反映衍射特性。这里顺便指出，这类系统的和均很小，倾斜因子，所以本章开始指出的忽略倾斜因子处理，是根据实际情况而做出的。正如粱铨廷教授在《物理光学》一书中所说：“菲涅耳衍射的定量解决仍很困难。在许多情况下，需要利用定性和半定量的分析、估算来解决问题”。研究菲涅尔衍射时采用的是菲涅耳波带法和菲涅耳积分法，菲涅耳数也是由此来引出来的。文献[8]成功地解决了这个问题。而且从光矢量的振幅解析表达式得出和菲涅耳波带法及菲涅耳积分法同样的结论，下面论述这个问题。四、圆孔衍射解析表达式的物理意义利用贝塞耳函数母函数的概念，经数学推导，文献[8]、[9]、[10]得出：（3－16）（3－17）（3－18）0M)2()]1(exp[1]})(2[exp{~~02222aNJaMiMNbRbRbRikADEp)exp(~11~iDPD11)2()()2()(~nnnnnnaNJMaiaNJMaiP称为振幅衰减系数。点光强为：（3－19）由（3－16）式可以看出，接收屏上任一点的振幅由两项构成：一项为几何波（即直线传播光束），另一项为衍射波（非直线传播光束）。两者均受到振幅衰减系数的调制。对于衍射波，其振幅按零阶贝塞耳函数分布，而其位相由两项构成：①反映衍射孔边缘子波（边界波）对接收屏上各点的作用。②反映衍射孔中心子波对屏上任一点p的作用。此讨论是经过严格数学推导得出的，它比所谓的边界衍射波理论更准确、更完善。此外，对于接收屏中心点，，代入（3－19）式，得：（3－20）)2()1(cos)2(21~20222002aNJMNaMaNJIDIp222aRbbRMND~bMMaN2122220P1~D0)2(sin4)2(sin4220200aRbbRIMNIIP显然，当……)（3－21）即波带数为奇数时，中心点是亮的，波带数为偶数时，中心点是暗的。这和菲涅耳波带法得出的结论是一致的。（3－16）式用来分析圆孔衍射的物理意义是有用的，但计算起来比用（3－4）式及（3－11）式还复杂，虽然计算结果一致。文献[8]给出了振幅衰减系数的近似表达式，即（3－22）a)近似曲线b)精确曲线图3－4bRmRbabRRbma2)12(３，，10(m2)exp(1~222aMeeD0.500.50.511.50.50211.52.53IρIo3.54211.532.543.51.51Maρ___IoIρ_ρMa时的近似和精确光强曲线。可见两者非常接近。若菲涅耳数大时，仍应按准确公式计算。由上面分析、讨论可以看出，光波遇到障碍物时，振幅和光强与自由传播明显不同。光能重新分布，接收屏上光强分布不再是均匀的。在几何阴影区外（）也会有照度，这便是衍射现象。时的近似和精确光强曲线。可见两者非常接近。若菲涅耳数大§3－3光学系统像点附近的光强空间分布、瑞利（Rayleigh）判断与斯托列尔(Strehl)准则在应用光学中评价光学系统成像质量有两条标准：一为瑞利判断，另一为斯托列尔准则。由像点附近的空间光强分布可以证明这两条标准实际是一回事。一、像点附近的空间光强分布早在1885年，洛梅耳(Lommel)就论述了一个点光源的单色像由圆孔衍射造成的离焦性质，并为此引入了洛梅耳函数，对照明区和几何阴影区采用不同的公式计算（见《光学原理》一书）。最新出版的文献[10]（2000年2月）利用文献[8]给出的解析表达式，