角动量守恒定律

本讲内容：一、质点的角动量二、角动量守恒开普勒三大定律Keplerlaws—–开普勒第二定律行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积.Keplerlaws除了动量，机械能守恒量以外一定还有另外一个守恒量存在！实例：力矩FrMFrM力对o点的力矩表达式：FsinrFM方向由右手螺旋法则确定。说明：1.力矩是改变质点系转动状态的原因；力是改变质点系平动状态的原因。2.同一力对空间不同点的力矩是不同的；ZXYrF一、质点的角动量中学的表达式：对O点力矩MsinFrFdMMrFOd正是前面定义的力矩的大小。力矩的方向由右手螺旋法则来确定才有矢量的确切含义。点积的微商点积abbaabba)()()(cabcbabacbtatbabatdddd)(dd2aaa0aa)()()(acbcbabac叉积的微商btatbabatdddd)(dd叉积数学补充知识：质点的角动量定理：仿照平动：tpFdd122121ddLLLtMLLtt点的冲量矩内对为质点在OttMtt21dptrtprtprFrMddd)(dddvrmprL0vvvmvtprd)(dtLtprddd)(d定义角动量——质点的角动量定理tLMdd1.质点的圆周运动动量：vmp（对圆心的）角动量：vrmvmrprL)(大小：mrvLmrvLO力是物体平动运动状态（用动量来描述）发生改变的原因。力矩是引起物体转动状态（用角动量来描述）改变的原因。质点的角动量)(vr方向：满足右手关系，向上。Sunrrvv2.行星在绕太阳公转时的椭圆轨道运动)(vrmprL大小：sinmvrL方向：满足右手关系，向上。3.质点直线运动对某定点的角动量：vrmprL大小：方向：思考：如何使L=0？mvdmvrLsinOmrdv对定点（太阳）的角动量：等于零吗？？？说明：1.角动量是矢量（kg·m2·s-1）3.角动量的方向：2)(mrrrmvrmL与同方向LvrmprL定义：对O点的角动量：2.角动量对不同点是不同的。质点的角动量总结：OXYZrvL试求:该质点对原点的角动量矢量和力矩.解：例:一质量为m的质点沿一条二维曲线运动jtbitarsincos其中a,b,为常数trvddvrmL)cossin(jtbita)sincos(jtbitam)sincos(22ktabktabmkmab(恒矢量)tLMdd!0jtbitacossin或由FrMjtbitarsincostrvddjtbitacossintvaddjtbitasincos22armFrMrrm2!0直接计算力矩当=恒矢量)(,0vmrLM二、角动量守恒定律质点角动量守恒—–开普勒第二定律例：行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积.KeplerlawsmLvr当质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点对该参考点O的角动量为一恒矢量。sinrtrm——开普勒第二定律讨论：行星受力方向与矢径在一条直线（中心力），永远与矢径是反平行的。故对力心质点所受的力矩为零。则对力心角动量守恒！行星的动量时刻在变,但其角动量可维持不变.在研究质点受有心力作用的运动时,角动量将代替动量起着重要的作用.质点在有心力场中,它对力心的角动量守恒。注意sinmvrLtSmtrrm2sin212mLvr力心F判断下列情况角动量是否守恒：圆锥摆运动中,做水平匀速圆周运动的小球m。(1)对C点的角动量是否守恒？CC'OgmT(2)对O点的角动量是否守恒？(3)对竖直轴CC'的角动量是否守恒？为了巩固质点角动量守恒的概念请同学思考！质点系的角动量定理和角动量守恒定律1.一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力矩等于零。111frM222frM221121frfrMM21ff221121frfrMM2fr2212)(frfrr0O2r1rr2f1f证明：质点系角动量iiiPrL][ddddiiiPrttL)(内外ijijiiifFriiiPtrdd········ijiPiFijfjifojririiiFrtL外dd一个质点系所受的合外力矩等于该质点系总角动量对时间的变化率——质点系的角动量定理。M一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力矩等于零。说明：3.角动量守恒定律是独立于牛顿定律的自然界中更普适的定律之一.4.角动量守恒定律只适用于惯性系。2.守恒指过程中任意时刻。1.角动量守恒条件：合外力矩为零.合外力为零,合外力矩不一定为零,反之亦然.MtLdd一个质点系所受的合外力矩等于该质点系总角动量对时间的变化率。——质点系的角动量定理即：虽然,但对某轴外力矩为零,则总角动量不守恒,但对这轴的角动量是守恒的.0iM3.由分量式：角动量守恒的几种可能情况：1.孤立系.2.有心力场,对力心角动量守恒.xixLM;0常量1.孤立系.为什么星系是扁状，盘型结构？1.孤立系.18世纪哲学家提出星云说，认为太阳系是由气云组成的。气云原来很大，由自身引力而收缩，最后聚集成一个个行星、卫星及太阳本身。但是万有引力为什么不能把所有的天体吸引在一起而是形成一个扁平的盘状？康德认为除了引力还有斥力，把向心加速的天体散射到个方向。19世纪数学家拉普拉斯完善了康德的星云说，指出旋转盘状结构的成因是角动量守恒。我们可以把天体系统看成是不受外力的孤立系统。原始气云弥漫在很大的范围内具有一定的初始角动量J，当r变小的时，在垂直J的横方向速度要增大，而平行J方向没有这个问题，所以天体就形成了朝同一个方向旋转的盘状结构。数学推导例:质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向下，水平面光滑，开始小球作圆周运动（r1,v1)然后向下拉绳，使小球的运动轨迹为r2的圆周求：v2=？v1r1r2FOv2解：作用在小球的力始终通过O点（有心力）由质点角动量守恒：2211rmvrmv)()(12112vrrvv2.有心力场,对力心角动量守恒.3.虽然,但对某轴外力矩为零,则总角动量不守恒,但对这轴的角动量是守恒的.0iM在刚体中经常用到例题半径为r的轻滑轮的中心轴O水平地固定在高处,其上穿过一条轻绳,质量相同的两人A、B以不同的爬绳速率vA、vB从同一高度同时向上爬,试问谁先到达O处？对滑轮的轴的外力矩为零,则对该轴系统总角动量是守恒的.可见,不论A、B对绳的速率vA、vB如何,二人对O的速率相同,解:对象:滑轮+绳+A+B,0BAvrmvrmBAvv则受外力:mAg=mBg=mg,N,对z轴的合力为0.对z轴,系统角动量守恒,A,B对O点速率v'A,v'B,初始时刻系统角动量为零,则:z轴正向:O点向外.故将同时到达O点.一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力矩等于零。小结：vrmprL质点角动量质点角动量定理：即：虽然,但对某轴外力矩为零,则总角动量不守恒,但对这轴的角动量是守恒的.0iM3由分量式：角动量守恒的几种可能情况：1孤立系.2有心力场,对力心角动量守恒.FrMtLdd质点→质点系重点！xixLM;0常量请同学们自学功，动能定理。回答以下问题：（1）你学到的动能定理与高中学的有什么不同？（2）动能定理表述了什么？什么是过程量，什么是状态量？（3）为什么一对力对定点的力矩为零，而一对力作功不为零？