张量分析总结

中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第1页一、知识总结1张量概念1.1指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。例：333323213123232221211313212111BxAxAxABxAxAxABxAxAxA(1.1)式(1.1)可简单的表示为下式：ijijBxA(1.2)其中：i为自由指标，j为哑标。特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j则在同项中可出现两次，表示遍历求和。在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。1.2Kronecker符号定义ij为：jijiij,0,1(1.3)ij的矩阵形式为：100010001ij(1.4)可知3ijijiijj。δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。如：ijjkikijjkklil(1.5)中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第2页ij的作用：更换指标、选择求和。1.3Ricci符号为了运算的方便，定义Ricci符号或称置换符号：其余情况为奇排列为偶排列,0,,,1,,,1kjikjilijk(1.6)图1.1i,j,k排列图ijkl的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。Ricci符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。1.4坐标转换图1.2坐标转换如上图所示，设旧坐标系的基矢为ie，新坐标系的基矢为'ie。有错误!未指定书签。'ie在ie下进行分解：''11'22'33'iiiiijjeeeee错误!未指定书签。错误!未指定书签。je在'ie下进行分解：''''1'12'23'3'jjjjijieeeee错误!未指定书签。其中，''''cos(,)ijijijjieeeeee错误!未指定书签。为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。空间点P在新老坐标系矢径：中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第3页0rrrexrexrjjii(1.7)其中'0r为上图中坐标原点的位移矢量。将'r向新坐标轴错误!未指定书签。投影的矢量的分量：'''''''''''''''''0000()()()()ikkikkiiikkijjikkijijijijrexeexxrrexeexeexxxx即由此得新坐标用老坐标表示的公式：ijjiixxx0)((1.8)错误!未指定书签。类似地，将i向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式：''0()jjiijxxx(1.9)错误!未指定书签。错误!未指定书签。特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，此时'0()0ix，错误!未指定书签。上两式的矩阵形式为：错误!未指定书签。'1''Txxxxx(1.10)错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。由上可知，TI错误!未指定书签。，是正交矩阵，则'1ij。综合以上可知：''''''''''''''''ijlklkiljkiljkikjkikjkijijijeeeeee(1.11)错误!未指定书签。同理，可推出：''ijkikj将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换，错误!未指定书签。；将新坐标到老坐标的坐标转换称为正转换，'()jjixxx''iijjxdxdxx错误!未指定书签。，其中'ijxx错误!未指定书签。错误!未指定书签。为常数，错误!未指定书签。称'ijxJx为雅克比行列式。若J处处不为0，则说明存在相应的逆变化，即：'''jiijjixxxx错误!未指定书签。中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第4页1.5张量的分量坐标转换规律1.5.1一阶张量一阶张量在新老坐标系中的分解为：jjiieaeaa(1.12)其中：ijijee(1.13)则：ijijiieaeaa(1.14)得到：jijiaa(1.15)同理：jjiiee(1.16)得：ijijaa(1.17)矢量是与一阶基矢相关联的不变量，可表示为一阶基矢的线性组合，此组合与坐标系的选择无关，故为一阶张量，标量为零阶张量。1.5.2二阶张量定义jiee为二阶基矢，写在一起，不作任何运算。由下式：ijijjjiieeee(1.18)可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为：jinjminmnmnjmijieeeeeeee(1.19)错误!未指定书签。又：jjiijjiiebeaebeaab(1.20)错误!未指定书签。记：错误!未指定书签。jiijbaB错误!未指定书签。，jiijbaB(1.21)则：jiijjiijeeBeeBab(1.22)错误!未指定书签。该式表示a与b并乘为一个坐标不变量，称为二阶张量。记为：中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第5页jiijjiijeeBeeBB(1.23)错误!未指定书签。将式(1.13)错误!未指定书签。代入错误!未指定书签。上式可得：ijnjmimnmnnjmiijBBBB(1.24)此分量转换可进一步推广到高阶张量。张量与坐标轴选择无关，故可独立于坐标系来表述。2张量的代数运算2.1张量的加减假如A、B为同阶张量，将它们在同一坐标系下的同类型分量一一相加（减），得到的结果即为它们的和（差），记为)(BABA，例如：ijijBABA(2.1)显然，同阶张量进行加减运算后仍为同阶张量。2.2标量与张量的积张量A，标量λ，若AB，则：ijijAB(2.2)2.3张量的并积两个同维不同阶（同阶）张量A、B的并积C是一个阶数为A、B阶数之和的高阶张量。kjiijkeeeAA(2.3)mllmeeBB(2.4)mlkjiijklmeeeeeCBAC(2.5)式(1.10)中：lmijkijklmBAC(2.6)2.4张量的缩并若对某张量中任意两个基矢量求点积，则张量将缩并为低二阶的新张量。错误!未指定书签。，有ijijAB错误!未指定书签。。取不同基矢量点积，缩并结果不同。2.5张量的点积两个张量先并乘后缩并的运算称为点积。如下：中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第6页kjiijkeeeAA(2.7)jlljeeBB(2.8)错误!未指定书签。(2.9)其中，ijkljiklABC(2.10)2.6指标的转换对于张量kjiijkeeeAA，若对该张量的分量中任意两个指标交换次序，得到一个与原张量同阶的新张量。如下式所示：kjiijkkjijikeeeBeeeA(2.11)指标转换也可以通过交换相应的基矢量位置来得到，如下式所示：kjiijkkjijikkijijkeeeBeeeAeeeA(2.12)错误!未指定书签。2.7张量的商法则张量T，如果它满足对于任意一个q阶张量S的内积均为一个p阶张量U，即在任意坐标系内以下等式UST成立错误!未指定书签。，则T必定是一个p+q阶的张量。以上规则称为张量的商法则。3二阶张量二阶张量是连续介质力学中最常遇到的一类张量，例如应力张量、应变张量、变形梯度张量和正交张量等。3.1二阶张量的矩阵(1)任何一二阶张量T总可以按其分量写成矩阵形式：111213212223313233ijTTTTTTTTTTT(3.1)二阶张量与矩阵虽然有上述对应关系，但它们并非全能一一对应。首先，矩阵并非只包括方阵，而二阶张量只能对应方阵；其次，在一般坐标系中，转置张量与转置矩阵、对称（或反对称）张量与对称（或反对称）矩阵不能一一对应；第三，二阶张量的某些运算不完全能用矩阵的运算与之互相对应。(2)二阶张量T的转置张量TT为：()TTijijjiijTTggTgg(3.2)(3)二阶张量的行列式中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第7页二阶张量对应的矩阵具有行列式值：detdetijTT由于两个互为转置的矩阵的行列式值相等，故两个互为转置的张量的行列式相等detdetTTT(4)二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算张量的相等、相加、标量与张量相乘等代数运算均与矩阵运算一一对应；二阶张量与矢量的点积；二阶张量与二阶张量的点积。以上运算都可以表示成对应的矩阵运算，但二阶张量的有些运算没有相应的矩阵运算，例如并乘运算。3.2几种特殊的张量3.2.1零二阶张量零二阶张量将任意矢量映射为零矢量，它是一种特殊的退化的二阶张量。零二阶张量对应的矩阵为：000000000O(3.3)0Ou(3.4)式中，左端的O是零二阶张量，右端的0为零矢量。3.2.2度量（单位）张量G错误!未指定书签。(3.5)度量张量将任意矢量映射为原矢量，即：Guu(3.6)度量张量与任意二阶张量的点积仍为该张量本身，即：TGTTG(3.7)因此，有些书中将度量张量记作I或1。3.2.3球形张量主对角分量为α，其余分量为零的二阶张量称为球形张量。它是数α与单位张量的数积，即：错误!未指定书签。ijijSG(3.8)3.2.4转置张量二阶张量错误!未指定书签。由对换分量指标而基矢量顺序保持不变所得的新张量jiijBBee称为张量B的转置张量。若同时转换二阶张量B的分量指标和基矢顺序，结果仍为B。三阶张量错误!未指定书签。有三种不同的转置张量，任意对换i，j，k得到：中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第8页123ijkijkikjijkkjiijkBBeeeBBeeeBBeee(3.9)3.2.5对称张量与反对称张量对称张量，转置张量等于其自身的张量：,ijjiBBBB。反对称张量，转置张量与其相反的张量：,ijjiBBBB。错误!未指定书签。三维二阶对称张量的独立分量有6个，n维有错误!未指定书签。个。反对称张量的主对角分量为0。三维二阶反对称张量的独立分量有3个，n维有错误!未指定书签。个。任意二阶张量B可以分解称为对称张量S和反对称张量A之和，即B=S+A再有错误!未指定书签。，得：1()21()2SBBABB(3.10)中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第9页