多元实值函数及其极限

一.多元实值函数及其极限n元实值函数f:D(⊂Rn)→R,n≥2时称为多元函数.符号:x=(x1,…,xn)∈D,y=f(x)=f(x1,…,xn),二元:z=f(x,y),三元:w=f(x,y,z).偏映射.二元函数的图像Grf={(x,y,z)∈R3|(x,y)∈D,z=f(x,y)}.例:z=221yx--(球面),z=4122yx--(椭球面),z=122-+yx(单叶双曲面),z=122++yx(双叶双曲面),z=22yx+(圆锥面),z=x2+42y(椭圆抛物面).要求能画出二元函数的定义域的草图.例:z=1122-+-yx(D={(x,y)||x|≤1,|y|≥1});z=22)(1yx+-(D={(x,y)||x2+y|≤1}={(x,y)|-1-x2≤y≤1-x2});z=yxyx--24(D={(x,y)|xy,0≤y≤2x});z=22222yxxxyx---+(D={(x,y)|x≤x2+y22x}).回顾一元函数极限的定义,改为f:D(⊂R)→R:Dxax∈→,limf(x)=A∈R*⇔对A的任何邻域V存在a的去心邻域U使x∈U∩D时f(x)∈V.为使a的去心邻域内总有D的点x,要求a是D的聚点.这个定义完全可移到n元函数f:D(⊂Rn)→R及D的聚点a.需要强调元数时称为n重极限;D为f的自然定义域时极限符号中省写x∈D.对二元函数z=f(x,y),(二重)极限),(),(limbayx→f(x,y)=byax→→limf(x,y)=A∈R⇔∀e0∃d0当0|(x,y)–(a,b)|(=22)()(byax-+-)d(或:|x–a|d,|y–b|d且(x,y)≠(a,b))时|f(x,y)–A|e.对三元函数….由于定义类似,一元函数极限的性质都可移来,例如Hiene定理Dxax∈→,limf(x)=A⇔∀E⊂D(E以a为聚点)Exax∈→,limf(x)=A⇔对D中任一满足xn≠a,xn→a的点列{xn},数列{f(xn)}收敛于A.[证第一个.]特别地,当E为D中曲线G时相应的极限称为f沿曲线G的极限;当E为D中经过a或以a为端点且具方向v(即长度为1的向量v)的直线或线段时相应的极限称为f沿方向v的(方向)极限.因此,只要沿某两个方向或某两条曲线的极限不等,或某方向极限不存在,重极限就不存在.二次极限设有二元函数z=f(x,y),x∈A⊂R,y∈B⊂R,a,b是A,B的聚点.称Axax∈→,lim(Byby∈→,limf(x,y))或)),(lim(lim,,yxfAxaxByby∈→∈→存在为f在(a,b)处的二次极限.类似地,三元函数可有3!个三次极限,n元函数有n!个n次极限.它们统称为累次极限.△f(x,y)=22yxxy+,)0,0(),(lim→yxf(x,y)不存在,因为y=kx时极限为21kk+.△f(x,y)=242yxyx+,)0,0(),(lim→yxf(x,y)不存在,因为y=kx时极限为0,y=x2时极限为1/2.(本例表明,所有方向极限存在且相等时重极限不一定存在.)△),(),(limbayx→x=a,),(),(limbayx→y=b,),(),(limbayx→x2y=a2b,P是多项式时),(),(limbayx→P(x,y)=P(a,b).一般地,若ax→limf(x)=A,by→limg(y)=B,则),(),(limbayx→f(x)g(y)=),(),(limbayx→f(x)),(),(limbayx→g(y)=ax→limf(x)by→limg(y)=AB.△求极限(1)22limyxyxyxyx+-+∞→∞→;(2))0,0(),(lim→yx2222yxyxxy+-.PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建解一(1)|…|≤||1||1||||||||yxyxyx+=+→0.(2)|…|≤|x||y|→0.解二极坐标代换.(1)|…|≤4/r→0(r→∞).(2)|…|≤r2/4→0(r→0).注用极坐标代换时,需h(r)≤f(rcosq,rsinq)≤g(r)且limg(r)=limh(r)时才能确定极限.否则不行,如y/x=tanq.△用定义证明上题的结果.证一(用方邻域)证二（用球邻域）△00lim→→yxxyyxsinsin=1×1=1.△00lim→→yxxxysin=00lim→→yxyxyxysin=1×0=0.△00lim→→yx2233yxyx++=0:|…|≤2233||||yxyx++≤|x|+|y|,或极坐标代换|…|≤2r.△(p.99.2(9))yxyxyx++→233)0,0(),(lim不存在:x=y时→0,y=x3-x2时→1.△(p.100.7(2))∞→∞→yxlim(x2+y2)e–(x+y)=∞→∞→yxlimxex2e–y+∞→∞→yxlimyey2e–x=0+0=0.极坐标代换得r2)4sin(2pq+-re,无法确定极限.△∞→∞→yxlim2)(22xyxxy+=0[0≤|…|≤2)21(x→0].△(p.100.7(4))yxxxyxyxxyxxx+→∞→+→∞→+=+))11((lim)11(lim002=e1=e.*△00lim→→yx22)(22yxyx+=00lim→→yx222222))((22yxyxyxyx+++=lim…lim…=10=1.或极坐标代换=42sin224)(qrr.r1`时1≥…≥424rr→1(r→0).PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建四.多元实值函数的偏导数△z=xy,zx=y,zy=x,zxx=0,zxy=1,zyx=1,zyy=0.△z=arctanxy,zx=-22yxy+,zy=22yxx+,zxx=222)(2yxxy+,zxy=-22222)(yxyx+-=zyx,zyy=-222)(2yxxy+.设n元实值函数w=f(x1,…,xn)在a=(a1,…,an)的某邻域内有定义,一元函数g由g(x)=f(a1,…,ai-1,x,ai+1,…,an)定义.若导数g'(ai)存在,则称之为f在a处关于(第i个变元)xi的偏导数,或f在a的第个偏导数,记为Dif(a)或ixf(a)或)(axfi∂∂或…(以w代f).于是Dif(a)=hafaahaaafniiih)(),,,,,,(lim1110-++-→LL.对二元函数z=f(x,y),….偏导数的实际意义.若∀a∈E⊂RnDif(a)存在,则可得到(第i个)偏导(函)数,记为…,由(Dif)(a)=Dif(a)(a∈E)定义.若Dif在a的第j个偏导数存在,则称之为f在a处关于(第i,j个变元)xi,xj的二阶偏导数,记为Dijf(a),jixxf(a),jixxf∂∂∂2(a),也可用w代f.i=j时后者常记为22ixf∂∂(a).i≠j时称为混合偏导数,这时要注意符号中i,j的次序,Dijf=Dj(Dif),jixxf∂∂∂2=)(ijxfx∂∂∂∂(后一种符号的次序在文献中有歧义).一般地,Dijf(a)≠Djif(a).△u=exyz,求uxyz.(=exyz(1+3xyz+x2y2z2).)△f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-,0,0,0),1exp(222222yxyxyx求fx.((x,y)≠(0,0)时…,=(0,0)时=0.)△f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-),0,0(),(,0),0,0(),(,2222yxyxyxyxxy求fxy(0,0),fyx(0,0).解(x,y)≠(0,0)时fx(x,y)=y2222244)(4yxyxyx++-.∵f(y,x)=-f(x,y),∴fy(x,y)=-fx(y,x)=-x2222244)(4yxyxxy++-.fx(0,0)=xfxfx)0,0()0,(lim0-→=0,fy(0,0)=yfyfy)0,0(),0(lim0-→=0,fxy(0,0)=yyyfyfyxxy0lim)0,0(),0(lim00--=-→→=-1,fyx(0,0)=xxxfxfxyyx0lim)0,0()0,(lim00-=-→→=1.*△f(x,y)=arcsin22yxx+.fx(x,y)=22||yxy+,fy(x,y)==+-)(||22yxyxy22sgnyxyx+-(y≠0),fy(x,0)不存在:y→0+时fy(x,y)→-1/x,y→0-时fy(x,y)→1/x,由导数极限定理得证.(也可以用定义:fy(x,0)=0lim→yyxfyxf)0,(),(-,计算可得y→0+时yxfyxf)0,(),(-→-x1,y→0-时→x1,故fy(x,0)不存在.)fxx(x,y)=-222)(||2yxxy+,fxy(x,y)=22222)(sgn)(yxyyx+-=fyx(x,y),fyy(x,y)=222)(sgn2yxyxy+.△f(x,y)=⎩⎨⎧=≠.0,0,0,1xyxyfx(0,0)=fy(0,0)=0,而f在(0,0)不连续,故偏导数存在且相PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建等⇏连续.但见p.117.15偏导(函)数有界⇒连续.△u=f(r),其中r2=x2+y2,f连续,证明:uxx+uyy=f(r)+r1f'(r).△证明:若f:[a,b]×[c,d]→R,且fx=fy=0,则f为常值函数.(p.117.15类似地证明.)△证明:若f关于x连续,fy有界,则f连续.证|f(x,y)-f(x0,y0)|≤|f(x,y)-f(x,y0)|+|f(x,y0)-f(x0,y0)|=|fy(x0,h)||y-y0|+|f(x,y0)-f(x0,y0)|≤M|y-y0|+|f(x,y0)-f(x0,y0)|.∀e0∃d10当|x-x0|d1时|f(x,y0)-f(x0,y0)|e/2.取d=min{M2e,d1},则|x-x0|d,|y-y0|d时|f(x,y)-f(x0,y0)|e.混合偏导数定理(p.130.Th.17.7,有改动)若在a∈Rn的某邻域内Dijf与Djif存在,且在a连续,则Dijf(a)=Djif(a).证先设n=2,a=(a1,a2),z=f(x,y)(要证明fxy(a1,a2)=fyx(a1,a2),注意fxy(a1,a2)=kaafkaafxxk),(),(lim21210-+→=hkhk1limlim00→→(f(a1+h,a2+k)-f(a1,a2+k)-f(a1+h,a2)+f(a1,a2)),因此有下面的证明.)设△(h,k)=f(a1+h,a2+k)-f(a1,a2+k)-f(a1+h,a2)+f(a1,a2).若设j(x)=f(x,a2+k)-f(x,a2),则j'(x)=fx(x,a2+k)-fx(x,a2),△(h,k)=j(a1+h)-j(a1)=j'(a1+q1h)h=(fx(a1+q1h,a2+k)-fx(a1+q1h,a2))h=fxy(a1+q1h,a2+q2k)hk(0q1,q21).同理,若设y(y)=f(a1+h,y)-f(a1,y),则△(h,k)=y(a2+k)-y(a2)=fyx(a1+h1h,a2+h2k)hk(0h1,h21).∴fxy(a1+q1h,a2+q2k)=fyx(a1+h1h,a2+h2k),令(h,k)→(0,0),由fxy,fyx在(a1,a2)连续得fxy(a1,a2)=fyx(a1,a2).设n2,ji,g(x,y)=f(a1,…,ai-1,x,ai+1,…,aj-1,y,aj+1,…,an),则Dijf(a)=gxy(ai,aj)=gyx(ai,aj)=Djif(a).注混合偏导数相等的其它充分条件见p.142.17,18.PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建五.(全)微分对一元函数,有f(x)-