等角定理(教学设计)

-0-等角定理教学设计教材版本：北京师范大学出版社高中数学必修二科目：高一数学上课章节：第一章第4节第二课时上课内容：等角定理任课教师姓名：聂德菊任教学校：安康高新中学-0-《等角定理》教学设计一．教学内容分析本文所讲的等角定理是初中平面几何等角定理的延续和推广，也是高中立体几何部分的基本定理和准备知识，具有很强的实用性，在课改中被保留下来。但是对定理内容的描述稍有改动，修改后的优点一是对“角方向相同”这个模糊概念的回避，优点二是强调在“两个角的两边分别对应平行”这个前提下，结论是不唯一的。教学过程中，可通过动画展示、实物模拟等手段来调动学生的好奇心和求知欲，通过探索发现、类比推广与归纳总结，培养学生提出问题—分析问题—解决问题的能力。二．学生学习情况分析通过初中平面几何的学习，学生对几何问题的研究方法已经初步掌握，但是学生的思维往往局限在“平面”，导致考虑问题不全面，也就是说从“平面”到“空间”是一个非常大的跨越，学生往往会不适应，课堂上应注意引导。教学过程中，还应经常把“平面几何”中的结论和“立体几何”中的结论进行对照，时刻提醒学生“平面几何”与“立体几何”的异同。等角定理是立体几何中的第一个定理，如果善于使用多种教学手段，并且理论与实践相结合，定能激起学生的学习兴趣。三．设计思想本课采用实验探究、自主学习、合作交流、类比推广的研究性学习方式，重点放在定理的探究形成和定理的应用上，努力挖掘定理数学中蕴涵的思维价值，从实际出发，引入数学课题，最后把所学知识应用于实际问题。四．教学目标1.知识与技能：(1)引导学生发现等角定理，重视探索过程；(2)把等角定理稍作“修改”，从而引出异面直线所成的角；(3)运用等角定理和异面直线所成的角等有关知识，解决和计算、证明有关的实际问题。2.过程与方法：让学生从已知的知识经验出发，通过对平面几何中等角定理的复习和动画演示，归纳总结出立体几何等角定理的内容，然后在等角定理中，把“平移一角”改为“平移一边”，从而引出异面直线所成的角的概念。引导学生通过观察、猜想、比较归纳等角定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。3.情感、态度与价值观：(1)通过对等角定理和异面直线所成的角的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会认识事物的规律，培养探索精神和创新意识；(2)通过学习和运用实践，体会数学的科学价值和应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养，初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的辩证唯物主义观点。五．教学重点与难点本节课的重点是等角定理和异面直线所成的角的探索；难点是用等角定理和异面直线所-1-成的角等知识解决实际问题。六．教学过程自主学习学生认真阅读课本，学会以下内容：公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（即直线在平面内）．公理2：经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面（即确定一个平面）．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．公理4：平行于同一直线的两条直线平行．学生自己能够解决的问题，一定要放心地让学生自己去解决，老师不能代劳，培养学生独立解决问题的能力。引领探究【探究一】等角定理问题1．观察下图，思考在平面几何中,等角定理的内容是什么？学生回答：平面中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．问题2．在上图中，哪个角和∠AOB相等？哪个角和∠AOB互补？学生回答：∠AOB=∠A’O’B’，∠AOB+∠A’O’C’=180o(用式子表示)．问题3．通过观察脚手架的升降（点击这里观察动画），思考这个定理在空间成立不成立？学生回答：成立．问题4．如何把平面几何中的等角定理改为立体几何中的等角定理？研究成果：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．(填定理内容)．问题5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中,根据等角定理,找出两对相等的角和两对互补的角．通过实物模型展示，让学生复习平面几何的等角定理，为下一步引出立体几何的等角定理打下基础。通过动画展示，很容易地把平面几何和等角定理推广成立体几何的等角定理。通过问题5，-2-学生回答：∠AOB=∠A1O1B1,∠ACB=∠A1C1B1，∠AOB+∠B1O1C1=180o,∠AOD+∠D1O1C1=180o。【探究二】异面直线所成的角问题6．由上面的动画可知，平移一个角，角的大小不变！试问，如果平移锐角的一个边，使其成异面直线，角的大小会不会改变？学生回答：不会.问题7．由此受到启发，思考什么是异面直线a、b所成的角？学生回答：过空间任意一点O分别作异面直线a,b的平行直线a’,b’,这两条相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线a,b所成的角．问题8．类比两条相交直线垂直的定义，思考什么叫两条异面直线垂直？学生回答：如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b．问题9．两条异面直线所成角的取值范围是什么？学生回答：(0o,90o]．问题10．在问题5的图中，找出两对异面垂直的直线．学生回答：AB⊥B1C1,AC⊥B1D1．【探究三】例．已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，求证四边形EFGH是平行四边形。证明：连接AC、BD，易知EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD，BD21EH同理FG∥BD，BD21FG∴EH∥FG，FGEH∴EFGH是平行四边形。让学生初步了解等角定理的应用。把等角定理中的“平移一角”变为“平移一边”，很容易引出异面直线所成的角。紧接着，引导学生总结异面垂直的概念和异面直线所成的角取值范围。本题考察的是公理4，异面直线所成的角，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定-3-追问1．对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是矩形？学生回答：AC⊥BD．追问2．对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？学生回答：AC=BD．追问3．对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是正方形？学生回答：AC⊥BD且AC=BD．等知识，初步培养学生的逻辑思维和变通能力．训练检测课后训练检测设计（分基础、运用、拓展、提高类，渗透中、高考考点）1．已知AB//PQ，BC//QR，∠ABC=30o，则∠PQR等于（C）A．30oB．150oC．30o或150oD．以上结论都不对2．如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心,则①AB与CC1所成的角_90o_；②BC与AD1所成的角_45o_；③DC1与CB1所成的角_60o_；④AD1与C1O所成的角_30o_。3．如右图，已知AA1、BB1、CC1不共面，并且AA1//BB1，AA1=BB1，BB1//CC1，BB1=CC1．求证ABC≌A1B1C1．提示：由已知可证四边形ABB1A1和BCC1B1都是平行四边形，从而可证AB//A1B1，AB=A1B1，BC//B1C1，BC=B1C1，再由等角定理证出∠ABC=∠A1B1C1，再SAS定理即可证明ABC≌A1B1C1．思考：还有没有其它方法？通过3个简单的检测题，了解学生对本节课内容的掌握情况，如果掌握情况不好，要及时补救．大题要求逻辑清晰，条理分明，书写工整！-4-板书设计总结升华七．教学反思本节课有两个重点内容：一个是等角定理，一个是异面直线所成的角．等角定理的探讨，是把平面几何的等角定理，通过动画演示，直接推广成空间几何的等角定理，过渡自然，学生容易接受；探讨完等角定理后，把等角定理中的“平移一角”变为“平移一边”，很容易引出异面直线所成的角．在这两个重点问题中，学生思维活跃，发言积极，教学效果较好．由于时间的限制，综合性的问题没有在本节课中出现，这也是下一节课需要解决的问题。