数学必修四知识点总结

三角函数总复习任意角的概念角的度量方法（角度制与弧度制）弧长公式与扇形面积公式任意角的三角函数同角公式诱导公式两角和与差的三角函数二倍角的三角函数三角函数式的恒等变形（化简、求值、证明）三角函数的图形和性质正弦型函数的图象xAysin已知三角函数值，求角知识网络结构1.角的概念的推广（1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含角在内）的集合为.Zkk,360（4）角在“到”范围内，指.3600（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.一、基本概念：一、任意角的三角函数1、角的概念的推广正角负角oxy的终边的终边),(零角二、象限角：注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。三、所有与角终边相同的角，连同角在内，构成集合：{|360,}SkkZ{|2,}kkZ（角度制）（弧度制）例1、求在到（）范围内，与下列各角终边相同的角036002到1950122（）、19（）、34812913原点x轴的非负半轴一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与重合，角的始边与重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。1、终边相同的角与相等角的区别终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。2、象限角、象间角与区间角的区别Zkkk2,2xyOxyOxyOxyO3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相垂直的两条直线上”的一般表示式Zkk2ZkkZkk2三、终边相同的角(1)与角终边相同的角的集合:1.几类特殊角的表示方法{|=2k+,k∈Z}.(2)象限角、象限界角(轴线角)①象限角第一象限角:(2k2k+,kZ)2第二象限角:(2k+2k+,kZ)2第三象限角:(2k+2k+,kZ)23第四象限角:2(2k+2k+2,kZ或2k-2k,kZ)23一、角的基本概念②轴线角x轴的非负半轴:=k360º(2k)(kZ);x轴的非正半轴:=k360º+180º(2k+)(kZ);y轴的非负半轴:=k360º+90º(2k+)(kZ);2y轴的非正半轴:=k360º+270º(2k+)或=k360º-90º(2k-)(kZ);232x轴:=k180º(k)(kZ);y轴:=k180º+90º(k+)(kZ);2坐标轴:=k90º()(kZ).2k例2、（1）、终边落在x轴上的角度集合：（2）、终边落在y轴上的角度集合：（3）、终边落在象限平分线上的角度集合：{|,}kkZ{|,}2kkZ{|,}42kkZ典型例题各个象限的半角范围可以用下图记忆，图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第一、二、三、四象限角的半角范围；例1.若α是第三象限的角，问α/2是哪个象限的角?2α是哪个象限的角?..D;.C;.B;.A)(22cos2cos)90(1第四象限第三象限第二象限第－象限角属于α则，α｜α｜α角是第二象限且满足设年，上海例C点评:本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的余弦符号确定结论.例1求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度：解：分针所转过的角度48036060201例2已知a是第二象限角，判断下列各角是第几象限角（1）（2）23评析：在解选择题或填空题时，如求角所在象限，也可以不讨论k的几种情况，如图所示利用图形来判断.四、什么是1弧度的角？长度等于半径长的弧所对的圆心角。OABrr2rOABr（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可以方便地进行换算.应熟记一些特殊角的度数和弧度数.在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制rad1180180rad180130.571801rad（4）弧长公式和扇形面积公式.rlrnrnl1802360rlrrS212122222360360rnrnS度弧度003064543602120321354315065270231803602902、角度与弧度的互化36021801801185730.57)180(1,弧度特殊角的角度数与弧度数的对应表略解：例3．已知角和满足求角–的范围.43,07,44312解：.,.33例4、已知扇形的周长为定值100，问扇形的半径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值是多少？.625)25(50)2100(212122rrrrrlrS)(2,50,25radrllr扇形面积最大值为625.例7.已知一扇形中心角是α，所在圆的半径是R.①若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积.②若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值?并求出这一最大值?指导:扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易记，而且好用.在使用时，先要将问题中涉及到的角度换算为弧度.解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓。1060,10,()33Rlcm22110131010sin6050)23232SSScm弓扇（）（（2）扇形周长C=2R+l=2R+Rrrclrs)2(212120cr正弦线：余弦线：正切线：（2）当角α的终边在x轴上时，正弦线，正切线变成一个点；当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在。2.正弦线、余弦线、正切线xyOPTMA有向线段MP有向线段OM有向线段AT注意：（1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线三角函数三角函数线正弦函数余弦函数正切函数正弦线MP正弦、余弦函数的图象yxxO-1PMA(1,0)Tsin=MPcos=OMtan=AT注意：三角函数线是有向线段！余弦线OM正切线ATPOMPOMPOMPOMMP为角的正弦线,OM为角的余弦线为第二象限角时为第一象限角时为第三象限角时为第四象限角时10）函数y=lgsinx+的定义域是（A）（A）{x|2kπx≤2kπ+(k∈Z)}（B）{x|2kπ≤x≤2kπ+(k∈Z)}（C）{x|2kπx≤2kπ+π(k∈Z)}（D）{x|2kπx≤2kπ+(k∈Z)}21cosx3323三角函数线的应用一、三角式的证明042、已知：角为锐角，试证：2sincos21、已知：角为锐角，试证：（1）sintan(2)1sincos24、在半径为r的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，那么扇形圆心角是多少？扇形的的面积是多少？答：圆心角为π-2，面积是2)2(21r5、用单位圆证明sianααtanα.(00α900ATPMOxy提示：利用三角函数线和三角形面积与扇形面积大小关系证明。OyxOyxxxcossinxxcossin0cossinxx0cossinxx例5已知角的终边经过点)0()4,3(aaaPsin2cos求值。0a5253254cos2sin0a5253254cos2sin例6若为第一象限角，利用三角函数线证明：1cossin若为其它象限角呢？例7求函数的定义域.xxytancosZkkxkx,2224.三角函数的符号sincossin,csc,yrcos,sec,xrxyo01-10++__100-1xyo++__不存在xyo00不存在_+_+tan,cot,yxtan一、任意角的三角函数定义xyo●P(x,y)r的终边yxxryrxyrxrycot,sec,csctan,cos,sin二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：111seccoscscsincottan商关系：sincoscotcossintan平方关系：222222csccot1sectan11cossin22yxr三角函数值的符号：“第一象限全为正，二正三切四余弦”平方关系倒数关系商式关系5.同角三角函数基本关系:1cossin2222tan1sec22cot1csc1cottan1cossec1sincsccossintancoscotsin神奇的六边形11cottancossinseccsc（1）上述几个基本关系中，必须注意：①它们都是同一个角的三角函数，因此sin2+sin2=1不一定成立；②这几个恒等式都是在所取的角使等式两边都有意义的前提下成立.（2）同角三角函数的基本关系常用于：①已知角的某个三角函数值，求角的其他三角函数值；②化简三角函数式；③证明三角恒等式同角三角函数基本关系注意事项:三、典型例题分析例1．(1)已知54sin，并且是第二象限角，求的其他三角函数值．【解题回顾】已知三角函数值求同角的其它三角函数值是一个基本题型，解答此问题过程中，通过基本关系式中正弦、余弦、正切之间的联系，必需开方且只需开方一次（有的题型根据已知条件可以尽量回避开方，使得问题轻松获解），根据α角所在象限，确定正负号的取舍.当给出的α的象限指定唯一，则此时一般有一解；当角α的象限没有定，可根据已知的函数值的符号确定α的象限，此时一般有二解（除轴上角外）；当已知的三角函数值符号不确定，此时一般有四解（除轴上角.外）.(2)已知54sin，求的其他三角函数值．(3)已知msin(|m|1且m≠0)，求的其他三角函数值．例1：已知是第三象限角，且，0求。四、主要题型31costan为第三象限角解：322)31(1cos1sin2222cossintan应用：三角函数值的符号；同角三角函数的关系；例2．已知sinα=m(|m|≤1)，求tanα.方法指导：此类例题的结果可分为以下三种情况.(1)已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有一解.(2)已知一个角的某三角函数值，且不知角所在象限，有两解.(3)已知角α的三角函数值是用字母表示时，要分象限讨论.α分象限讨论的依据是已知三角函数值具有平方关系的那个三角函数值符号，一般有四解.指导：容易出错的地方是得到x2＝3后，不考虑P点所在的象限，分x取值的正负两种情况去讨论，一般地，在解此类问题时，可以优先注意角α所在的象限，对最终结果作一个合理性的预测例4．设α为第四象限角，其终边上的一个点是P(x，)，且cosα＝，求sinα和tanα.5x42设00900，对于任意一个00到3600的角=，当[00，900]1800-，当[900，1800]1800+，当[1800，2700]3600-，当[2700，3600]如何求非锐角的三角