正态分布习题与详解(非常有用-必考点)

精心整理精心整理1.若x～N(0,1),求(l)P(-2.32x1.2)；(2)P(x2).解：(1)P(-2.32x1.2)=(1.2)-(-2.32)=(1.2)-[1-(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P(x2)=1-P(x2)=1-(2)=l-0.9772=0.0228.奎屯王新敞新疆2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求)3(F奎屯王新敞新疆（2）在N（μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；解：（１）)3(F＝)213(＝Φ（1）＝0.8413（２）Ｆ（μ＋σ）＝)(＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.68263某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率奎屯王新敞新疆[Φ（0.2）=0.5793,Φ（1.2）=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(xexfx，它是偶函数，说明μ＝0，)(xf的最大值为)(f＝21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布奎屯王新敞新疆4.某县农民年平均收入服从=500元，=200元的正态分布奎屯王新敞新疆（1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（aa,）内的概率不少于0.95，则a至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398,Φ（1.96）=0.975]解：设表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N奎屯王新敞新疆精心整理精心整理520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P（2）∵()()()2()10.95200200200aaaPaa，查表知：1.96392200aa奎屯王新敞新疆1设随机变量~XN(3,1),若(4)PXp,,则P(2X4)=(A)12p(B)l—pC．l-2pD．12p【答案】C因为(4)(2)PXPXp,所以P(2X4)=1(4)(2)12PXPXp,选C．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100B．200C．300D．400[答案]B[解析]记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000，0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝()A.B．－C.D.[答案]D[解析]由条件a，b，c成等差数列知，2b＝a＋c，由分布列的性质知a＋b＋c＝1，又E(ξ)＝－a＋c＝，解得a＝，b＝，c＝，∴D(ξ)＝×2＋2＋2＝.4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为()A．3B．4C．5D．2[答案]A[解析]设白球x个，则黑球7－x个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，精心整理精心整理P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，∴0×＋1×＋2×＝，∴x＝3.5．小明每次射击的命中率都为p，他连续射击n次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p(ξ1)＝()A.B.C.D.[答案]C[解析]由条件知ξ～B(n，P)，∵，∴，解之得，p＝，n＝8，∴P(ξ＝0)＝C80×0×8＝8，P(ξ＝1)＝C81×1×7＝5，∴P(ξ1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝1－8－5＝.5已知三个正态分布密度函数φi(x)＝e－(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则()A．μ1μ2＝μ3，σ1＝σ2σ3B．μ1μ2＝μ3，σ1＝σ2σ3C．μ1＝μ2μ3，σ1σ2＝σ3D．μ1μ2＝μ3，σ1＝σ2σ3[答案]D[解析]正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从精心整理精心整理而可知σ1＝σ2σ3.6①命题“0xR,cosx”的否定是:“0xR,cosx”;②若lgalgblg(ab),则ab的最大值为4;③定义在R上的奇函数f(x)满足2f(x)f(x),则6f()的值为0;④已知随机变量服从正态分布215081N(,),P().,则3019P().;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④①命题“0xR,cosx”的否定是:“0xR,cosx”;所以①正确.②若lgalgblg(ab),则lgablg(ab),即,0,0ababab.所以2()2ababab,即2()4()abab,解得4ab,则ab的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数f(x)满足2f(x)f(x),则(4)()fxfx,且(0)0f,即函数的周期是4.所以(6)(2)(0)0fff;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布215081N(,),P().,则(5)1(5)10.810.19PP,所以35019P()P().;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间[1,1]上任取两数m和n,则关于x的方程220xmxn有两不相等实根的概率为___________.【答案】14由题意知11,11.mn要使方程220xmxn有两不相等实根,则22=40mn,即(2)(2)0mnmn.作出对应的可行域,如图直线20mn,20mn,当1m时,11,22CBnn,所以11111[()]2222OBCS,所以方程220xmxn有两不相等实根的概率为122122244OBCS.8、下列命题:精心整理精心整理`(1)221211134dxxx;(2)不等式|1||3|xxa恒成立,则4a;(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则(0)(2);PXPX(4)已知,,21,abRab则218ab.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3)(1)22111lnln2dxxx,所以(1)错误.(2)不等式|1||3|xx的最小值为4,所以要使不等式|1||3|xxa成立,则4a,所以(2)正确.(3)正确.(4)21212222()(2)41529babaababababab,所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（）A．26B．25C．23D．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为222221[(1923)(2023)(2223)(2323)(3123)]185,选D．3有一个容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在8,10内的频数为精心整理精心整理（）A．38B．57C．76D．95【答案】C样本数据在8,10之外的频率为(0.020.050.090.15)20.62,所以样本数据在8,10内的频率为10.620.38,所以样本数据在8,10的频数为0.3820076,选C．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．13B．14C．15D．16【答案】【答案】B根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为1324100111()()244xxdxxx,所以由几何概型公式可得点P恰好取自阴影部分的概率为14,选B．5从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25精心整理精心整理从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105.