微分几何练习题库及答案

1《微积分几何》复习题本科第一部分：练习题库及答案一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）第一章1．已知(1,1,1),(1,0,1)ab，则这两个向量的夹角的余弦cos=362．已知(0,1,1),(1,0,1)ab，求这两个向量的向量积ab(-1,-1,-1)．3．过点)1,1,1(P且与向量(1,0,1)a垂直的平面方程为X-Z=04．求两平面0:1zyx与12:2zyx的交线的对称式方程为21131zyx5．计算232lim[(31)]tttijk138ijk．6．设()(sin)tttfij，2()(1)tttegij，求0lim(()())tttfg0．7．已知(,)(,,)uvuvuvuvr，其中2tu，tvsin，则ddtr(2cos,2cos,2cos)ttttvtut8．已知t，2t，则d(,)dtr(sincos2cossin,sinsin2coscos,cos)aataata9．已知42()d(1,2,3)ttr，64()d(2,1,2)ttr，求4622()d()dttttarbar)5,9,3(，其中(2,1,1)a，(1,1,0)b10．已知()tra（a为常向量），求()trtac11．已知()ttra，（a为常向量），求()tr212tac12．已知()(2)(log)tttfjk，()(sin)(cos)tttgij，0t，则40d()ddttfg4cos62．第二章13．曲线3()(2,,)tttter在任意点的切向量为2(2,3,)tte14．曲线()(cosh,sinh,)tatatatr在0t点的切向量为(0,,)aa15．曲线()(cos,sin,)tatatbtr在0t点的切向量为(0,,)ab216．设有曲线2:,,ttCxeyezt，当1t时的切线方程为2111zeeyeex17．设有曲线tttezteytex,sin,cos，当0t时的切线方程为11zyx第三章18．设(,)uvrr为曲面的参数表示，如果uvrr0，则称参数曲面是正则的；如果:()GGrr是一一的，则称参数曲面是简单的．19．如果u曲线族和v曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．(坐标网;易;3分钟)20．平面(,)(,,0)uvuvr的第一基本形式为22dduv，面积元为dduv21．悬链面(,)(coshcos,coshsin,)uvuvuvur的第一类基本量是2coshEu,0F,2coshGu22．曲面zaxy上坐标曲线0xx，0yy的交角的余弦值是200222200(1)(1)axyaxay23．正螺面(,)(cos,sin,)uvuvuvbvr的第一基本形式是2222d()duubv．24．双曲抛物面(,)((),(),2)uvauvbuvuvr的第一基本形式是2222222222(4)d2(4)dd(4)dabvuabuvuvabuv25．正螺面(,)(cos,sin,)uvuvuvbvr的平均曲率为0．（正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3分钟）26．方向(d)d:duv是渐近方向的充要条件是(d)0n或22d2ddd0LuMuvNv27．两个方向(d)d:duv和(δ)δ:δuv共轭的充要条件是(d,δ)0IIrr或dδ(dδdδ)dδ0LuuMuvvuNvv28．函数是主曲率的充要条件是0ELFMFMGN29．方向(d)d:duv是主方向的充要条件是dddd0ddddEuFvLuMvFuGvMuNv30．根据罗德里格定理，如果方向(d)(d:d)uv是主方向，则ddnnr，其中n是沿(d)方向的法曲率31．旋转极小曲面是平面或悬链面第四章32．高斯方程是kijijkijkLrrn，,1,2ij，魏因加尔吞方程为,kjiikijkLgnr，,1,2ij33．ijg用ijg表示为221212111()det()ijijgggggg．334．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线()C在P点的测地曲率的绝对值等于()C在P点的切平面上的正投影曲线()C的曲率35．,,gn之间的关系是222gn．36．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为0．37．测地线的方程为22,ddd0,1,2dddkijkijijuuuksss38．高斯-波涅公式为1dd()2kgiiGGKs39．如果G是由测地线组成，则高斯-波涅公式为1d()2kiiGK．二、单选题第一章40．已知(1,0,1)a，(1,2,1)b，则这两个向量的内积ab为（C）．（内积；易；2分钟）A2B1C0D141．求过点(1,1,1)P且与向量(1,0,1)a平行的直线的方程是（A）．（直线方程；易；2分钟）A1yzxB1321zyxC11zyxD1zyx42．已知(1,1,1),(1,0,1),(1,1,1)abc，则混合积为（D）．（混合积；较易；2分钟）A2B1C1D243.已知()(,,)ttteter，则(0)r为（A）．（导数；易；2分钟）Ａ(１，０，１)Ｂ(-１，０，１)Ｃ(０，１，１)Ｄ(１，０，-１)44．已知()()ttrr，为常数，则()tr为（C）．（导数；易；2分钟）ＡtaＢaＣteaＤea上述a为常向量．45.已知(,)(,,)xyxyxyr，求d(1,2)r为（D）．（微分；较易；2分钟）Ａ(d,d,d2d)xyxyＢ(dd,dd,0)xyxy第二章446．圆柱螺线(cos,sin,)tttr的切线与z轴（C）.(螺线、切向量、夹角；较易、2分钟)Ａ平行Ｂ垂直Ｃ有固定夹角4Ｄ有固定夹角347．设有平面曲线:()Csrr，s为自然参数，α,β是曲线的基本向量．下列叙述错误的是（C）．Ａα为单位向量ＢααＣαβＤβα48．直线的曲率为（B）．（曲率；易；2分钟）Ａ–１Ｂ０Ｃ１Ｄ２49．关于平面曲线的曲率:()Csrr不正确的是（D）．（伏雷内公式；较易；2分钟）Ａ()()ssαＢ()()ss，为()sα的旋转角Ｃ()sαβＤ()|()|ssr50．对于平面曲线，“曲率恒等于０”是“曲线是直线”的（D）．（曲率；易；2分钟)Ａ充分不必要条件Ｂ必要不充分条件Ｃ既不充分也不必要条件Ｄ充要条件51．下列论述不正确的是（D）．（基本向量；易；2分钟）Ａα,β,γ均为单位向量ＢαβＣβγＤ//αβ52．对于空间曲线Ｃ，“曲率为零”是“曲线是直线”的（D）．（曲率；易；2分钟)A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件53．对于空间曲线C，“挠率为零”是“曲线是直线”的（D）．（挠率；易；2分钟)A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件54．2sin4),cos1(),sin(taztayttax在点2t的切线与z轴关系为（D）．Ａ垂直Ｂ平行Ｃ成3的角Ｄ成4的角第三章55．椭球面2222221xyzabc的参数表示为（C）．（参数表示；易；2分钟）A(,,)(coscos,cossin,sin)xyzB(,,)(coscos,cossin,sin)xyzabC(,,)(coscos,cossin,sin)xyzabcD(,,)(coscos,sincos,sin2)xyzabc56．以下为单叶双曲面2222221xyzabc的参数表示的是（D）．（参数表示；易；2分钟）5A(,,)(coshsin,coshcos,sinh)xyzauvbuvuB(,,)(coshcos,coshsin,sinh)xyzuvuvuC(,,)(sinhcos,sinhsin,cosh)xyzauvbuvcuD(,,)(coshcos,coshsin,sinh)xyzauvbuvcu57．以下为双叶双曲面2222221xyzabc的参数表示的是（A）．（参数表示；易；2分钟）A(,,)(sinhcos,sinhsin,cosh)xyzauvbuvcuB(,,)(coshcos,sinhsin,cosh)xyzauvbuvcuC(,,)(coshcos,coshsin,sinh)xyzauvbuvcuD(,,)(coshcos,coshsin,sinh)xyzuvuvu58．以下为椭圆抛物面22222xyzab的参数表示的是（B）．（参数表示；易；2分钟）A2(,,)(cos,sin,)2uxyzuvuvB2(,,)(cos,sin,)2uxyzauvbuvC2(,,)(cosh,sinh,)2uxyzauvbuvD(,,)(cos,sin,)xyzavbvv59．以下为双曲抛物面22222xyzab的参数表示的是（C）．（参数表示；易；2分钟）A(,,)(cosh,sinh,)xyzaubuuB(,,)(cosh,sinh,)xyzuuuC(,,)((),(),2)xyzauvbuvuvD(,,)(,,)xyzaubvuv60．曲面2233(,)(2,,)uvuvuvuvr在点(3,5,7)M的切平面方程为（B）．（切平面方程；易；2分钟）A2135200xyzB1834410xyzC756180xyzD1853160xyz61．球面(,)(coscos,cossin,sin)uvRuvRuvRur的第一基本形式为（D）．（第一基本形式；中；2分钟）A2222(dsind)RuuvB2222(dcoshd)RuuvC2222(dsinhd)RuuvD2222(dcosd)Ruuv62．正圆柱面(,)(cos,sin,)uvRvRvur的第一基本形式为（C）．（第一基本形式；中；2分钟）A22dduvB22dduvC222dduRvD222dduRv63．在第一基本形式为222(d,d)dsinhduvuuvI的曲面上，方程为12()uvvvv的曲线段的弧长为（B）．（弧长；中；2分钟）A21coshcoshvvB21sinhsinhvv6C12coshcoshvvD12sinhsinhvv64．设M为3R中的2维2C正则曲面，则M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B）．A0EB0FC0GD0M65．以下正确的是（D）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）Ad(d)nrWBd(d)unrWCd(d)uvnrWDd(d)nrW66．以下正确的是（C）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）A(d,(δ))(d,δ)IrrIIrrWB(d,(δ))((δ),d)IrrIrrWWC(d,(δ))((d),δ)IrrIrrWWD(d,(δ))((d),δ)IrrIIrrWW67．以下正确的是（A）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）A(d,(δ))(d,δ)IrrIIrrWB(d,(δ))((d),δ)IrrIIrrWWC(d,(δ))((d),δ)IrrIrrWWD(d,(δ))((d),δ)IIrrIIrrWW68．高斯曲率为常数的的曲面叫（C）．（高斯曲率；易；2分钟）A极小曲面B球面C常高斯曲率曲面D平面第四章B69．,___________ijjiijgg．（第一基本形式；