11高二数学理第十一讲离散型随机变量及其分布列-二项分布及应用

1第十一讲离散型随机变量及其分布列，二项分布及应用一、知识梳理1．设离散型随机变量的可能取的值为x1、x2…xi…，取每一个值xi的概率为P（=xi）=Pi则称为随机变量的分布列。x1x2…xi…PP1P2…Pi…2．离散型随机变量的分布列的两个特点：1≥Pi≥0；P1+P2+…+Pi+…=1（i=1，2，3…）3．求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）找出随机变量的所有可能取值xi（2）求出各项值的概率p(=xi)=pi（3）列成表格4．在n次独立重复实验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能取的值为0，1，2，3…，n并且p（=k）=Cknpkqn-k（其中k=0，1，2…，n，q=1p），显然p（=k）≥0，(k=0，1，2…n)，0nkCknpkqn-k=（p+q）n=1，这样的随机变量服从参数n和p的二项分布，记为~B（n，p）。5．一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件（X=k）发生的概率为P（X=k）=knkMNMnNCCC，k=0、1、2、…、m，其中m=min（M，n），且n≤N，M≤N，n、M、N∈N。其分布列为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布：X01…mP0nMNMnNCCCnNnMNMCCC11…nNmnMNmMCCC二、典型例题例1．（1）①某机场侯机室中一天的旅客数量为；②某寻呼台一天内收到寻呼的次数为；③某水文站观察到一天中长江的水位为；④某立交桥一天经过的车辆数为，则（）不是离散型随机变量。A．①中的B．②中的C．③中的D．④中的（2）若离散型随机变量的分布列如下：01p9c2c38c求出常数c。2变式训练1．在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为02345p0.03P1P2P3P4（1）求q2的值；（2）求的分布列（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。例2．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件，已知生产1件一、二、三等品获利分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元。设1件产品的利润（单位：万元）为，求的分布列。变式训练2．某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数N=n1n2n3n4n5n6，其中N的各位数字中，n1=n6=1，nk（k=2，3，4，5）出现0的概率为23，出现1的概率为13，记=n1+n2+n3+n4+n5+n6，当该计算机程序运行一次时，求随机变量的分布列。3例3．（二项分布）某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠。已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的。（1）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（2）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列变式训练3．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、31、61，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列。例4．（超几何分布）高二（十）班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布如何？变式训练4．口袋有3个红球，2个白球，从中随机抽出2个球，设其中有个红球，求的分布列。4例5．从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取的可能性相同，在下列两种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数的分布列：（1）每次取出的产品都不放回此批产品中；（2）每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；变式训练5．甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止。设甲在每局中获胜的概率为12pp，且各局胜负相互独立。已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59。（1）求p的值；（2）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列。二、课堂练习1．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数的差为，则“4”表示测验的结果为（）。A．第一枚为5点，第二枚为1点B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点C．第一枚为6点，第二枚为1点D．第一枚为4点，第二枚为1点2．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于3357612CCC的是（）。A．P（=2）B．P（=3）C．P（≤2）D．P（≤3）3．随机变量的分布列为下图，则为奇数的概率为。012345p1915245745851924．抛掷一枚骰子5次，得到点数为6的次数为，则p（3）=。5．一个口袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，没停止时总共取了次球。则p（=12）等于___________________________。56．有5支不同标价的圆珠笔，分别标有10元、20元、30元、40元、50元从中任取3支，若以表示取到的圆珠笔中的最高标价，试求的分布列。7．某射手有5发子弹，射去一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用完，求耗子弹数的分布列。8．某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区。B肯定是受A感染的。对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是12。同样也假定D受A、B和C感染的概率都是31。在这种假定之下，B、C、D中直接．．受A感染的人数X就是一个随机变量。写出X的分布列。三、课后作业1．一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量yx，求的分布列。2．一名学生每天骑自行车上学，从他的家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率是31。（1）设为这个学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列；（2）设为这个学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；6高二数学（理科）讲义第十一讲参考答案（62期）例1．（1）C（2）C=31变式训练1．（1）q2=0.8。（2）所以随机变量的分布列为02345p0.030.240.010.480.24随机变量的数学期望00.0320.2430.0140.4850.243.63E（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为()PBBBBBBBB()()()PBBBPBBBPBB222222(1)0.896qqq；该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72。由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大例2．的取值为6，2，1，2。P（=6）=0.63，P（=2）=0.25P（=1）=0.1，P（=2）=0.02的分布列为6212P0.630.250.10.02变式训练2．解：的可能取值是2，3，4，5，6∵n1=n6=1，∴P(=2)=C04423=8116，P(=3)=C14323·13=8132，P(=4)=C24223·213=8124，P(=5)=C3423·313=818，P(=6)=C44413=811的分布列为23456P811681328124818811例3．（1）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A，由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是13，则4265()1()1381PAPA（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，X~B14,3。X01234P168132812481881181变式训练3．解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件,,iiiABC，i=1，2，3。由123AAA相互独立，123BBB相互独立，123CCC相互独立，,,ijkABC（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且7P（1A）=12，P（1B）=13，P（1C）=61。解法（1）：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知，-B13,3，且+=3所以P（=0）=P（=3）=33C311327，.P（=1）=P（=2）=32313C2239，P（=2）=P（=1）=11313C22439，P（=3）=P（=0）=03C328327故的分布列是0123P1272994278解法（2）：第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件1D，i=1，2，3，111112()()()263PDPAPC所以23,3B，既3321()()()33KKKPKC，0123k，，，故的分布列是0123p2719294278例4．解析：从50名学生中随机取5人共有550C种方法，没有女生的取法是051535CC，恰有1名女生的取法是141535CC，恰有2名女生的取法是231535CC，恰有3名女生的取法是321535CC，恰有4名女生的取法是411535CC，恰有5名女生的取法是501535CC，因此取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布为：X012345P051535550CCC141535550CCC231535550CCC321535550CCC411535550CCC501535550CCC变式训练4．设摸出红球个数为x，则x服从超几何分布，N=5，M=3，n=2∴x的分布列是x012P11035310例5．解：（1）的取值为1、2、3、4P（=1）=1013；P（=2）=313·1012=526，P（=3）=313·122·1110=5143P（=4）=133·122·111·1010=2861所求的分布列为：32133KK81234P101326514352861（2）的取值为1、2、3…，n…P（=1）=1013；P（=2）=313·1310；P（=3）=133·1310·133=2313·1310类似地，P(=n)=1313n1310，n=1、2、3…。的分布列为：123…n…P1013133·13102313·1310…1313n·1310…变式训练5．（1）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故225(1)9pp，解得13p或23p。又12p，所以23p。（2）依题意知的所有可能取值为2，4，6。5(2)9P，5520(4)(1)9981P，52016(6)198181P，所以随机变量的分布列为：246P5920811681二、课堂练习1．C2．B3．8154．1338885．22101112