《分层法》例题详解

例：如图1所示一个二层框架，忽略其在竖向荷载作用下的框架侧移，用分层法计算框架的弯矩图，括号内的数字，表示各梁、柱杆件的线刚度值（EIil）。图1解：1、图1所示的二层框架，可简化为两个如图2、图3所示的，只带一层横梁的框架进行分析。图2二层计算简图图3底层计算简图2、计算修正后的梁、柱线刚度与弯矩传递系数采用分层法计算时，假定上、下柱的远端为固定，则与实际情况有出入。因此，除底层外，其余各层柱的线刚度应乘以0.9的修正系数。底层柱的弯矩传递系数为12，其余各层柱的弯矩传递系数为13。各层梁的弯矩传递系数，均为12。图4修正后的梁柱线刚度图5各梁柱弯矩传递系数3、计算各节点处的力矩分配系数计算各节点处的力矩分配系数时，梁、柱的线刚度值均采用修正后的结果进行计算，如：G节点处：7.630.6687.633.79GHGHGHGHGDGjGiiiiiGD3.790.3327.633.79GDGDGHGDGjGiiiiiH节点处：7.630.3537.633.7910.21HGHGHGHGHEHIHjHiiiiii3.790.1757.633.7910.21HIHIHIHGHEHIHjHiiiiii10.210.4727.633.7910.21HEHEHEHGHEHIHjHiiiiii同理，可计算其余各节点的力矩分配系数，计算结果见图6、图7。图6二层节点处力矩分配系数图7底层节点处力矩分配系数4、采用力矩分配法计算各梁、柱杆端弯矩（1）第二层：①计算各梁杆端弯矩。先在G、H、I节点上加上约束，详见图8图8二层计算简图计算由荷载产生的、各梁的固端弯矩（顺时针转向为正号），写在各梁杆端下方，见图9：213.13kNm12FGHqlM213.13kNm12FHGqlM27.32kNm12FHIqlM27.32kNm12FIHqlM在节点G处，各梁杆端弯矩总和为：13.13kNmFGGHMM在节点H处，各梁杆端弯矩总和为：13.137.325.81kNmFFHHGHIMMM在节点I处，各梁杆端弯矩总和为：7.32kNmFIIHMM②各梁端节点进行弯矩分配，各两次，详见图9第一次弯矩分配过程：放松节点G，即节点G处施加力矩13.13kNm，乘以相应分配系数0.668和0.332，得到梁端+8.76kNm和柱端+4.37kNm，+8.76kNm按12传到GH梁H端；放松节点I，即在节点I处施加力矩7.32kNm，乘以相应分配系数0.935和0.065，得到梁端6.32kNm和柱端+1.00kNm，6.32kNm按12传到IH梁H端；放松节点H，相应的在节点H处新加一个外力偶矩，其中包括GH梁右端弯矩、IH梁左端弯矩、GH梁和IH梁传来的弯矩。其值为(13.13+4.387.323.16)kNm=7.03kNm，乘以分配系数，HI梁分配3.56kNm、HG梁分配2.73kNm、HE柱分配1.32kNm，3.56kNm按12传到I端，2.73kNm按12传到G端。第一次分配过程完成。第二次弯矩分配过程：重复第一次弯矩分配过程，叠加两次结果，得到杆端最终弯矩值。③计算各柱的杆端弯矩。二层柱的远端弯矩为各柱的近端弯矩的13（即传递系数为13），带*号的数值是各梁的固端弯矩，各杆分配系数写在图中的长方框内图9二层弯矩分配传递过程（2）第一层：①计算各梁杆端弯矩。先在D、E、F节点上加上约束，详见图10图10底层计算简图计算由荷载产生的、各梁的固端弯矩（顺时针转向为正号），写在各梁杆端下方：217.81kNm12FDEqlM217.81kNm12FEDqlM28.89kNm12FEFqlM28.89kNm12FFEqlM在节点D处，各梁杆端弯矩总和为：17.81kNmFDDEMM在节点E处，各梁杆端弯矩总和为：17.818.898.92kNmFFEEDEFMMM在节点I处，各梁杆端弯矩总和为：8.89kNmFFFEMM②各梁端节点进行弯矩分配，各两次，分配以及传递过程同第二层，但弯矩传递时要注意传递系数的差别。③计算各柱的杆端弯矩。二层柱的远端弯矩为各柱的近端弯矩的13（即传递系数为13），底层柱的远端弯矩为近端弯矩的12（即传递系数为12），带*号的数值是各梁的固端弯矩，各杆分配系数写在图中的长方框内。图11底层弯矩分配传递过程5、将二层与底层各梁、柱杆端弯矩的计算结果叠加，就得到各梁、柱的最后弯矩图，详见图12。图12弯矩图（单位：kNm）6、力矩再分配由以上各梁、柱的杆端弯矩图可知，节点处有不平衡力矩，可以将不平衡力矩再在节点处进行一次分配，此次分配只在节点处进行，并且在各杆件上不再传递。在本题中，由于不平衡力矩相对较小，力矩可不再分配。