圆锥曲线之蒙日圆问题

蒙日圆如图所示，椭圆22221(0)xyabab,直线,PMPN分别为椭圆上的两条垂直的切线，切点分别为,MN，其交点为P，则交点的轨迹为一个圆，方程为：2222xyab，证明如下：证明：设切线PM的斜率为k，交点P坐标为00(,)xy，则切线PM方程为：00()yykxx，即：00ykxkxy，暂且记为ykxm其中00mkxy.联立直线与椭圆方程：222222222222()2()01ykxmakbxkmaxambxyab2222224()=0abakbm2222akbm而00mkxy2222222000000()2akbkxyykxykx整理为关于k的一元二次方程222220000()20axkkxyby其中12,kk是分别切线,PMPN的斜率所以222222012002201+bykkxyabax.所以交点P的轨迹为一个圆，其方程为：2222xyab.蒙日圆1.已知圆221Oxy：，若直线2ykx上总是存在点P，使得过点P与圆O相切的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是.2.给定椭圆22221(0)xyCabab：,称圆心在原点O,半径为22ab的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为(2,0)F,其短轴上的一个端点到F的距离为3(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;(2)点P是椭圆C的“准圆”上的动点,过点P作椭圆的切线12,ll交“准圆”于点,MN.(ⅰ)当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求直线12,ll的方程并证明12ll;(ⅱ)求证:线段MN的长为定值并求该定值.3.已知椭圆22221(0)xyCabab：，该椭圆上、左、下顶点及右焦点围成的四边形面积为33，离心率为12.（1）求椭圆的方程；（2）如图，若矩形ABCD的三条边都与该椭圆相切，求矩形ABCD面积的最大值.蒙日圆