高等数学无穷级数

无穷级数第一节数项级数及其敛散性第二节幂级数一、常数项级数及其敛散性1．常数项级数的概念定义1设给定一个数列则表达式（11．1）称为常数项无穷级数，简称数项级数，记作即其中第n项称为一般项或通项．,,,,,,321nuuuunuuuu321nnnuuuuu32111nnunu第一节常数项级数及其敛散性例如，级数的一般项为又如级数的一般项为简言之，数列的和式称为级数.定义2设级数的前项之和为称Sn为级数的前项部分和．当依次取1，2，3，…时，431321211.)1(1nnun)311ln()211ln()11ln()11ln(nunnkknnuuuuuS1321新的数列，…，，…，数列称为级数的部分和数列．若此数列的极限存在，即(常数),则S称为的和，记作此时称级数收敛．如果数列没有极限，则称级数发散，这时级数没有和．11uS212uuSnnuuuS21nS1nnuSSnnlim1nnuSunn11nnunS1nnu当级数收敛时，其部分和是级数和S的近似值，称为级数的余项，记作，即．例1判定级数的敛散性.解已知级数的前n项和是：nSnSSnr21nnnnuuSSr)1(1431321211)1(11nnnnn因为,所以这个级数收敛,其和为1.)111()3121()211()1(1321211nnnnSn111n1111limlimnSnnn例3讨论等比级数（也称几何级数）的敛散性.1121nnnaqaqaqaaq解(1)前n项和当时，，所以级数收敛，其和当时，所以级数发散.(2)当时，于是1qqqaaqaqaqaSnnn11121qqaSnn1limqaS11qnnSlim11nnaq1q1q111nnnaaqnaSnnnlimlim所以级数发散.当时，，其前n项和显然，当n→∞时，Sn没有极限.所以，级数发散.综上所述，等比级数，当时收敛,当时发散.结论记住11nnaq1q11111nnnnaaq为偶数时，当为奇数时，当nnaSn011nnaq11nnaq1q1q注意几何级数的敛散性非常重要.无论是用比较判别法判别级数的敛散性，还是用间接法将函数展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为基础..11nnaq2．数项级数的基本性质性质1如果级数收敛，其和为s,k为常数，则级数也收敛，其和为ks；如果级数发散，当k≠0时，级数也发散.由此可知，级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变..1nnu1nnku1nnu1nnku性质2若级数与分别收敛于β与，则级数，收敛于性质3添加、去掉或改变级数的有限项，级数的敛散性不变.性质4若级数收敛，则对其各项间任意加括号后所得的级数仍收敛，且其和不变.应当注意，性质4的结论反过来并不成立.即如果加括号后级数收敛，原级数未必收敛..1nnu1nnv1)(nnnvu1nnu例如级数（1-1）+（1-1）+…+（1-1）+…显然收敛于零，但级数1+1-1+…+1-1+…却是发散的.性质5（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则例5判别级数的敛散性解因为所以级数发散.例6判别级数的敛散性.1nnu0limnnu12735231nn02112limlimnnunnn112nnn1111121nnnnn解级数与级数都收敛，故由性质2知，级数收敛.注意性质5可以用来判定级数发散：如果级数一般项不趋于零，则该级数必定发散.应当看到，性质5只是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条件，也就是说，即使，也不能由此判定级数收敛.下面的例正说明了这一点：，但级数发散.11121nnn111nnn1111121nnnnn0limnnu1nnu01limnn11nn例7证明调和级数是发散级数.证调和级数部分和如图，考察曲线11nnnknkS11，所围成的曲边梯形的面积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系.所以，阴影部分的总面积为它显然大于曲边梯形的面积S，即有01,1,1ynxxxy和nAAAAn1,31,21,1321nknkkknAA111131211nknnknxdxxAA111111ln|ln1而，表明A的极限不存在，所以该级数发散.nn1lnlim二、正项级数及其敛散性如果≥0（n=1,2,3…），则称级数为正项级数定理1正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界.例1证明正项级数是收敛的证因为于是对任意的有nu1nnu0!1!21!111!1nnn,4,3,221222113211!11nnnn即正项级数的部分和数列有界，故级数收敛.定理2（比较判别法）设和是两个正项级数，且(1)若级数收敛，则级数也收敛；(2)若级数发散，则级数也发散.2221212111!11!21!111nnnS3213211211121nn0!1nn1nnu1nnvnnvu1nnv1nnu1nnu1nnv例2讨论级数（）的敛散性（证明了解，结论）解当时，，因为发散，所以由比较判别法知，当时，发散.当时，顺次把级数的第1项，第2项到第3项，4到7项，8到15项，…加括号后得它的各项显然小于级数P11npn0P1Pnnp1111nn1P1PP)15181()71615141()3121(1pppppppp)8181()4141()2121(1pppppp对应的各项，而所得级数是等比级数，其公比为，故收敛，于是当时，级数收敛.综上所述，级数当时发散，当时收敛.注意级数在判断正项级数的敛散性方面经常用到，因此有关级数敛散性的结论必须牢记.31211)21()21(211ppp1211pq1P11npnP11npn1P1PPP例3判定级数的敛散性.解因为级数的一般项满足而级数是p＝2的级数，它是收敛的，所以原级数也是收敛的.411631521nn411nnun214110nnnP重要参照级数:等比级数,p-级数。定理3比较判别法的极限形式:.lim11lvuvunnnnnnn同上，且和则和nu同时收敛，同时发散nv时，当0l注:须有参照级数.比较审敛法的不方便——例5判定敛散性:(1)11sinnn;(2)131nnn.解)1(nnnn3131limnnn11sinlim,1发散.)2(nnn1sinlimnnn311lim,1,nn收敛而131故原级数收敛.定理4（达朗贝尔比值判别法）设是一个正项级数，并且，则(1)当时，级数收敛；(2)当时，级数发散；(3)当时，级数可能收敛，也可能发散.例6判别下列级数的敛散性(1)；(2)1nnuquunnn1lim1qqq或11q1223nnnn1!11nn解(1)所以级数发散；(2)所以级数收敛.2222121113lim32213limlimnnnnuunnnnnnnnn12311123lim2nn1223nnnn101lim!!1limlim1nnnuunnnnn1!11nn练习判别收敛性:(1)1!1nn;解!1)!1(11nnuunn11n0.收敛1!1010)!1(11nnuunnnn101n.发散(2)110!nnn;解定理6(根值判别法，柯西判别法)设为正项级数，且（1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散；（3）当时级数可能收敛也可能发散nnnulim1)lim(1n11nnu注意:当1时比值（根值）审敛法失效。,11npnp级数对例nnnuu1lim总有nnnulim.1(1)11nnn;nnnulim0nn1lim.收敛解.)12(21)2(1nnn解)22()12(2)12(limlim1nnnnuunnnn,1比值审敛法失效.根值审敛法也一定失效.改用比较审敛法,12)12(12nnnnnnn2)12(1lim2或4/1.收敛要判别一个正项级数是否收敛，通常按下列步骤进行：(1)用级数收敛的必要条件如果，则级数发散，否则需进一步判断.(2)用比值判别法如果，即比值判别法失效，则改用比较判别法.(3)用比较判别法用比较判别法必须掌握一些敛散性已知的级数，以便与要判定的级数进行比较，经常用来作为比较的级数有等比级数，级数等.0limnnu1lim1nnnuuPP三、交错级数及其敛散性级数称为交错级数.定理4（莱布尼兹判别法）如果交错级数满足莱布尼兹(Leibniz)条件:(1)(2)则级数收敛，其和S≤，其余项≤),2,1,0()1(11nuunnnn),2,1,0()1(11nuunnnn,3,2,1,1nuunn0limnnu),2,1,0()1(11nuunnnn1unr1nu例6判定交错级数的敛散性.解此交错级数，满足：(1)；(2)由莱布尼兹判别法知级数收敛.四、绝对收敛与条件收敛定义3对于任意项级数,若收敛，则称是绝对收敛的；若收敛，而发散，则称是条件收敛的.nn114131211111,11nununn111nn01limlimnunnn1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu定理5绝对收敛的级数必是收敛的.例7判定级数的敛散性.解因为≤，而级数收敛，故由比较判别法可知级数收敛，从而原级数绝对收敛.12sinnnna2sinnna21n121nn12sinnnna12sinnnna例8判别级数的敛散性，说明是否绝对收敛.解因为故由比值判别法可知级数收敛，所以原级数绝对收敛.11131nnnn13131lim331limlim11nnnnuunnnnnnn1113nnnnnu11131nnnn例9判别级数是否绝对收敛.解因为故由比值判别法可知级数发散，从而原级数不是绝对收敛.11!1nnnnn111lim1lim!!11limlim11ennnnnnnuunnnnnnnnnnn11!nnnnnnu!111nnnnn例10证明级数条件收敛.证由莱布尼兹判别法知级数收敛，而为调和级数，它是发散的，故所给级数条